Гомотетия

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ГОМОТЕТИЯ Диафильм по математике для средней школы

Кадр 2

ФРАГМЕНТ I. ГОМОТЕТИЯ ТОЧЕК

Кадр 3

Если вектор ОА' равен произведению числа k на вектор ОА , то точки А' и А называются гомотетичнымы относительно точки 0.

Кадр 4

Если коэффициент гомотетии положителен, то гомотетия называется положительной (или прямой), центр гомотетии — внешним.

Кадр 5

Задача 1. Найдите значение k.

Кадр 6

Задача 2. Дана точка А, центр гомотетии S и k=2/3. Выполнить гомотетию точки А.

Кадр 7

При отрицательном коэффициенте гомотетии называется отрицательной (или обратной), а центр гомотетии – внутренним.

Кадр 8

Задача 3. Найдите значение k.

Кадр 9

Задача 4. Дана точка М и центр гомотетии S. Выполните гомотетию точки М при: 1). k=-2; 2). k=-¼.

Кадр 10

Задача 5. Дана точка А. Гомотетия задана центром S и двумя точками M и M', гомотетичными относительно этого центра. Постройте точку A', гомотетичную точке A относительно центра S.

Кадр 11

Проведём M'A'||MA. Докажем, что точка A' гомотетична точке A, т. е. SA'=k·SA.

Кадр 12

ФРАГМЕНТ II. ГОМОТЕТИЯ НАК ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Кадр 13

Выполним гомотетию каждой точки фигуры F.

Кадр 14

На каждой точке фигуры F соответствует по определенному правилу точка фигуры F'. Следовательно, гомотетия — геометрическое преобразование.

Кадр 15

ФРАГМЕНТ III. ГОМОТЕТИЯ ОТРЕЗКА, ЛУЧА, ПРЯМОЙ

Кадр 16

Выполним гомотетию концов отрезка AB.

Кадр 17

Установим зависимость между векторами АВ и А'В'.

Кадр 18

Выполним гомотетию любой точки М, принадлежащей отрезку АВ и рассмотрим векторы АМ и А'М'. Отрезки А'М' и АВ' имеют общую точку А' и параллельны одной и той же прямой АВ. Следовательно, они лежат на одной прямой, т. е. точка М' лежит на отрезке А'В'.

Кадр 19

1.AM=SM-SA; 2.AM'=SM'-SA'; 3.AM'=mSM-mSA= =m(SM-SA)=mAM; A'M'=mAM.∴AM'||AM.:∴AM'||AB.

Кадр 20

Мы доказали, что гомотетия преобразует отрезок в отрезок. Гомотетичные отрезки параллельны или лежат на одной прямой.

Кадр 21

Гомотетия преобразует луч в параллельный луч. Докажите.

Кадр 22

Гомотетия преобразует прямую в параллельную прямую. Докажите.

Кадр 23

Гомотетия преобразует угол в равный угол. Докажите.

Кадр 24

Фигуру, гомотетичную данной, можно получить с помощью прибора-пантографа. Штифтом (М) обводят контуры данной фигуры F . Карандаш (М') чертит гомотетичную фигуру F'. Винты (B) устанавливаются на делениях, соответствующих выбранному коэффициенту гомотетии.

Кадр 25

Для увеличения или уменьшения рисунков, чертежей, географических карт применяются специальные чертёжные пантографы.

Кадр 26

ФРАГМЕНТ IV. СВЯЗЬ ГОМОТЕТИИ С ПОДОБИЕМ

Кадр 27

∠A→∠A': ∠A=∠A' ∠B→∠B': ∠B=∠B' }…ΔABC∼ΔA'B'C' Гомотетия преобразует треугольник в подобный треугольник.

Кадр 28

Выполним гомотетию многоугольника ABCDE.

Кадр 29

Гомотетия преобразует многоугольник в подобный многоугольник.

Кадр 30

F' гомотетична F:: F'∞F F"∞F, но F и F" не гомотетичны Из гомотетии двух фигур следует, что они подобны. Справедливо ли обратное предложение?

Кадр 31

ФРАГМЕНТ V. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ГОМОТЕТИИ

Кадр 32

Задача 6. В данный остроугольный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его вершины принадлежали одной из сторон треугольника, а две – другим сторонам, по одной на каждой.

Кадр 33

Построим квадрат MNKL . Вершину треугольника С примем за центр гомотетии. Точка M' гомотетична точке M относительно центра С .

Кадр 34

Квадрат M'N'K'L'–искомый. Сколько решений имеет эта задача?

Кадр 35

Решите аналогичные задачи для прямоугольного и тупоугольного треугольников ABC.

Кадр 36

Задача 7. В данный треугольник ABC вписать другой треугольник так, чтобы его вершины лежали по одной на каждой из сторон данного треугольника, а стороны были бы параллельны трём данным векторам а, в и с.

Кадр 37

Построим MN||ā, MK||b, NK||c.

Кадр 38

Примем вершину В за центр гомотетии. Построим К'N'||KN, К'M'||KM. Докажите, что ΔK'M'N' – искомый.

Кадр 39

Задача 8. Даны три луча, имеющие общее начало О. Луч β, расположенный между лучами α и с, с каждым из них образует острый угол. Построить окружность с центром, лежащим на луче β, касающуюся луча α и отсекающую на луче с отрезок l .

Кадр 40

В результате построения должна получиться следующая фигура.

Кадр 41

Для этого строим произвольную окружность D с центром на луче b, касающуюся луча α и отсекающую на луче c произвольный отрезок m.

Кадр 42

Выполним гомотетию этой окружности, приняв за центр гомотетии точку 0 . Коэффициент гомотетии равен отношению l к m.

Кадр 43

Окружность D' – искомая. Докажите это. Проведите исследование задачи.

Кадр 44

КОНЕЦ Автор А. М. Пышкало Редактор Л. Б. Книжникова Чертёжи С. Н. Рогова Художник-оформитель С. Н. Рогов Д-416-65 Студия „Диафильм“, 1965 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30

Кадр 45

ПОДОБИЕ и ГОМОТЕТИЯ