8 задач по геометрии

Кадр 1

ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Кадр 2

При выполнении геометрических построений используются различные инструменты: линейка, угольник, циркуль, транспортир, малка и другие. Часто для этого применяют одновременно несколько инструментов, например, линейку и циркуль, транспортир и угольник. Определённый интерес представляют построения, выполняемые с помощью одного какого-нибудь инструмента, например, с помощью только двусторонней линейки или только циркуля.

Кадр 3

ФРАГМЕНТ I. ПОСТРОЕНИЯ с помощью ДВУСТОРОННЕЙ ЛИНЕЙКИ

Кадр 4

Это — двусторонняя линейка. Её края мы считаем строго параллельными. Практически обычную ученическую линейку можно использовать как двустороннюю.

Кадр 5

Задача 1. Только с помощью двусторонней линейки разделите данный угол пополам.

Кадр 6

Приложим край линейки к стороне OB и проведём, пользуясь другим краем линейки, прямую MN. Получим MN || OB.

Кадр 7

Затем приложим край линейки к стороне OA и проведём прямую KL. Получим KL||OA. Прямые MN и KL пересекутся в точке P.

Кадр 8

Проведём луч OP. Докажите, что OP — биссектриса угла AOB.

Кадр 9

Задача 2. Только с помощью двусторонней линейки разделите отрезок AB пополам.

Кадр 10

Расположим линейку так, чтобы один её край проходил через точку А, а другой — через точку В. (Всегда ли это возможно?) Проведём прямые m и n.

Кадр 11

Теперь расположим линейку так, как показано на чертеже, и проведём прямые с и d.

Кадр 12

P—точка пересечения прямых m и c, K—прямых n и d. Как называется полученный четырёхугольник APBK (черт. 1)? Проведём отрезок PK (черт. 2). Докажите, что PK⊥AB; AO=OB.

Кадр 13

Задача 3. Точки А и А₁ симметричны относительно прямой l. Пользуясь только двусторонней линейкой, постройте точку М₁, симметричную точке М относительно прямой l.

Кадр 14

МА пересекает прямую l в точке К, MA₁—в точке L.

Кадр 15

Прямая КА₁ пересекает прямую AL в точке М₁. Докажите, что точки М и М₁ симметричны относительно прямой l.

Кадр 16

ФРАГМЕНТ 2. ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ

Кадр 17

Задача 4. Только с помощью циркуля постройте точки пересечения прямой AB с окружностью О.

Кадр 18

Радиусом BO проведём дугу (окружность) с центром в точке B (черт. 1), а радиусом AO – дугу с центром в точке A. O₁ – точка пересечения этих дуг (черт. 2).

Кадр 19

Радиусом, равным радиусу данной окружности, проведём окружность с центром в точке O₁ (черт. 1). Эти окружности пересекутся в точках M и N. Докажите, что точки M и N лежат на прямой AB (черт. 2).

Кадр 20

Задача 5. Точки А и В — вершины квадрата (АВ — сторона квадрата). Только с помощью циркуля постройте две другие вершины этого квадрата.

Кадр 21

Радиусом а=AB проведём окружность с центром в одной из данных точек (черт. 1). На окружности отложим последовательно точки N, M и K так, что бы AN = NM = MK=a (черт. 2). Тогда отрезок AM=a√3, а отрезок AK=2a. AK — диаметр.

Кадр 22

Радиусом, равным AM (AM=a√3), проведём две дуги с центрами в точках А и К. Они пересекаются в точке Р. PB=a√2—это отрезок, равный диагонали искомого квадрата (со стороной AB=a).

Кадр 23

Радиусом, равным PB (α√2), проведём дугу с центром в точке А. Дуга пересечёт окружность в точке С. С—одна из искомых вершин квадрата.

Кадр 24

Построим четвёртую вершину квадрата, точку D. BD=BP=a√3; AD=a.

Кадр 25

ФРАГМЕНТ 3. ПОСТРОЕНИЯ НА ОГРАНИЧЕННЫХ ЧАСТЯХ ПЛОСКОСТИ

Кадр 26

Рассмотрим несколько примеров, когда построения связаны не только с выбором инструментов, но и с наличием недоступных элементов (например, недоступных точек), а также с ограниченными частями плоскости (лист бумаги, часть плоской поверхности детали), на которых эти построения выполняются.

Кадр 27

Задача 6. Определите величину угла, образованного прямыми OM и ON, точка пересечения которых, точка О, недоступна.

Кадр 28

Способ I. На одной из прямых, например на прямой MN (черт. 1), возьмём произвольную точку A. Проведём AB||OM (черт. 2). Измерим получившийся угол BAN.

Кадр 29

Способ II. А и В — произвольные точки на прямых OM и ON (черт. 1). Проведём APOM и BPLON (черт. 2). Измерим угол α. Докажите, что ∠α равен искомому.

Кадр 30

Задача 7. Разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

Кадр 31

Стороны угла пересечём двумя произвольными прямыми MN и PQ (черт. 1). Построим биссектрисы углов ∠M и ∠N. O₁ — точка пересечения биссектрис (черт. 2).

Кадр 32

Строим биссектрисы ∠P и ∠Q (черт. 1). О₂ — точка пересечения этих биссектрис. Докажите, что прямая О₁О₂ (черт. 2) является биссектрисой данного угла.

Кадр 33

Задача 8. Эта металлическая пластинка имела форму параллелограмма. У неё отломаны углы. Найдите центр пластинки (центр симметрии параллелограмма).

Кадр 34

Построим произвольно отрезки MN и PQ так, чтобы их концы находились на противоположных сторонах оставшейся части параллелограмма (черт. 1). Точка O₁ — середина отрезка MN; O₂ — середина отрезка PQ (черт. 2).

Кадр 35

Проведём отрезок EF так, чтобы он проходил через точки O₁ и O₂. Точка O — середина отрезка EF (черт. I). Докажите, что точка O — центр симметрии параллелограмма (искомый центр пластинки).

Кадр 36

КОНЕЦ Диафильм по математике для восьмилетней школы сделан по заказу Министерства просвещения РСФСР Автор кандидат педагогических наук А. Пышкало Художник-оформитель В. Ермолаева Редактор Л. Книжникова Студия «Диафильм», 1972 г. Москва, 101000, Старосадский пер., д. № 7 Д-217-72 Цветной 0-30

Кадр 37

По заказу Министерства просвещения РСФСР РЕШЕНИЕ СОСТАВНЫХ ЗАДАЧ в 1 КЛАССЕ Диафильм по математике

Кадр 38

РЕШЕНИЕ ПРОСТЫХ ЗАДАЧ К УРОКАМ МАТЕМАТИКИ ВО 2 КЛАССЕ