Векторы

Кадр 1

ВЕКТОРЫ Диафильм по геометрии для 8-го класса

Кадр 2

Преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка (x, y) переходит в точку (x+α, y+b), α и b постоянные, называется параллельным переносом. Параллельный перенос задается формулами: x'=x+α, y'=y+b. Параллельный перенос задан формулами: x'=x–2, y'=y+1. В какие точки переходят точки A, B, O? Какие точки переходят в точки A, B, O?

Кадр 3

Задайте формулами параллельный перенос, переходящий: а) точку А в точку А'; б) точку В в точку В'; в) точку С в точку С'; г) точку А' в точку А; д) точку F в точку F'.

Кадр 4

Докажите, что параллельный перенос есть движение. A (x₁, y₁) переходит в A’ (x₁+a, y₁+b). B (x₂, y₂) переходит в B’ (x₂+a, y₂+b). AB²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)² . A’B²=? Существует ли параллельный перенос, переводящий точку (0, 1) в точку (1, 0), а точку (0, 2) — в точку (3, 0)? Ответ объясните.

Кадр 5

Почему середина отрезка АВ' совпадает с серединой отрезка А'В'? Используя этот факт, докажите, что: а) при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние; б) при параллельном переносе прямая переходит в параллельную прямую (или в себя).

Кадр 6

Теорема. Каковы бы ни были две точки А и А', существует, и притом единственный, параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку А'. Используя чертеж, проведите доказательство единственности. ДАНО: ДОКАЗАТЬ: Х' определяется однозначно.

Кадр 7

Проверьте свое доказательство. ДАНО: A→A', X→X'. AX' и A'X имеют общую середину. Середина A'X определяется однозначно. Середина AX' определяется однозначно. ДОКАЗАТЬ: X' определяется однозначно.

Кадр 8

Проведите доказательство существования.

Кадр 9

Теорема. Преобразование, обратное параллельному переносу, есть параллельный перенос. Два параллельных переноса, выполненные один за другим, дают параллельный перенос. Какие формулы задают параллельный перенос, обратный данному?

Кадр 10

Какие формулы задают параллельный перенос, получающийся в результате последовательного выполнения данных параллельных переносов?

Кадр 11

Направленный отрезок — вектор. АВ, ā — обозначения вектора.

Кадр 12

Две полупрямые называются одинаково направленными, если их можно совместити параллельным переносом. На каких чертежах полупрямые одинаково направлены? Каким параллельным переносом их можно совместити?

Кадр 13

Используя определение одинаково направленных полупрямых, докажите, что если полупрямые а и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые а и с одинаково направлены.

Кадр 14

а и b₁ одинаково направлены, b и a₁ одинаково направлены. Тогда a и b называются противоположно направленными. На каких чертежах полупрямые с и d противоположно направлены? Ответ объясните.

Кадр 15

Векторы AB и CD называются одинаково направленными, если одинаково направлены полупрямые AB и CD. Длина отрезка, изображающего вектор, называется абсолютной величиной (модулем) вектора: |ā|. Среди данных векторов найдите а) одинаково направленные; б) равные по модулю.

Кадр 16

Векторы ĀВ и CD называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по модулю. Некоторый параллельный перенос переводит А в С, а В в D.

Кадр 17

Если векторы одинаково направлены и равны по модулю, то они равны. Среди данных векторов найдите равные.

Кадр 18

Ō-нулевой вектор (начало совпадает с концом). |Ō|=0. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и только один.

Кадр 19

Числа α₁=x₂-x₁ и α₂=y₂-y₁ называются координатами вектора ā: ā(α₁, α₂). Определите координаты данных векторов.

Кадр 20

Объясните, почему |ā| = √a₁² + a₂². Найдите модуль каждого из данных векторов. Чему равен x, если |ā (x, 3)| = 5? Найдите все решения.

Кадр 21

Теорема. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно, если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны. Объясните доказательство первого утверждения теоремы. ДАНО: **ā(a₁,a₂) и ā'(a₁,a₂) равны.** Пусть A₁(x₁,y₁) A₂ (x₂,y₂) ДОКАЗАТЬ: a₁=a₁' a₂=a₂'

Кадр 22

Объясните доказательство обратного утверждения. ДАНО: a₁=a₁' a₂=a₂'. ДОКАЗАТЬ: ā(a₁,a₂) и ā(a₁',a₂') равны.

Кадр 23

Векторы А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃, А₄В₄, А₅В₅ равны. Найдите координаты точек В₂, В₃ и В₅.

Кадр 24

Вектор с (a₁ + b₁, a₂ + b₂) называется суммой векторов ā (a₁, a₂) и b (b₁, b₂). Найдите суммы: ā₁ + ā₂; ā₁ + ā₃; ā₁ + ā₄; ā₁ + ā₂ + ā₄.

Кадр 25

Для любых векторов а, b и с: 1. а+b=b+а. 2. а+(b+с)=(а+b)+с.

Кадр 26

c(a₁+b₁,a₁+b₂)=ā(a₁,a₂)+b(b₁,b₂) Теорема. Для любых точек A, B, C AB+BC=AC. Используя чертеж, докажите эту теорему.

Кадр 27

Объясните следующий способ построения суммы векторов ā и b. AB+BC=AC „Правило треугольника“

Кадр 28

Докажите „правило параллелограмма“: если ABCD—параллелограмм, то AB+AD=AC.

Кадр 29

Если b+c=a, то вектор c называется разностью a и b: c=a-b. Как найти координаты разности векторов? Докажите, что для любых точек A, B и C AC-AB=BC. Для каждой пары векторов найдите разность.

Кадр 30

Вектор (λa₁, λa₂) называется произведением вектора (a₁, a₂) на число λ: λ(a₁, a₂)=(λa₁, λa₂). Найдите векторы: 3ā; -2b; 7č; 4ā+4b; 2ā+3ā; 5ā+5č.

Кадр 31

Для любых векторов ā и b и чисел λ и μ: 1. (λ+μ)ā=λā+μā. 2. λ(ā+b)=λā+λb. Как построить вектор 5ā–2b?

Кадр 32

Используя доказанное утверждение, найдите |с|, если 1. с=2а, а(0,3). 2. с= - 1/2 а, а(-5,0). 3. с=-9а, а(-6,8).

Кадр 33

Объясните доказательство второго утверждения теоремы. Если OB = λā, то B(λa₁, λa₂). Прямая 0A:αx+βy=0. Значит, В лежит на 0A. Если λ>0, то 0A и OB направлены одинаково, если λ<0 — противоположно. Используя доказанное утверждение, установите, одинаково или противоположно направлены векторы x̄ и ȳ, если: 1. x̄=-2,5y; 2. x̄=0,3y; 3. x̄=-7y.

Кадр 34

ā≠0 и b≠0 называются колинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Какие из данных векторов колинеарны с?

Кадр 35

Теорема. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. И обратно, если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарны. Объясните начало доказательства первого утверждения теоремы и закончите его. ДАНО: а(a₁, a₂) и b(b₁, b₂) коллинеарны а и b одинаково направлены или противоположно направлены ДОКАЗАТЬ: b₁/a₁ = b₂/a₂

Кадр 36

ДАНО: ā(a₁,a₂) и b(b₁, b₂) коллинеарны

Кадр 37

Если |ā|=1, то вектор ā называется единичным. Найдите координаты единичного вектора, одинаково направленного с вектором (1,1). ē₁(1,0) и ē₂(0,1) — координатные векторы (орты). Докажите, что для любого ā(a₁, a₂) ā=a₁ē₁ + a₂ē₂. a₁ē₁ = (a₁, 0), a₂ē₂ = (0, a₂).

Кадр 38

НАЙДИТЕ СКАЛЯРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ: OA·OB; OA·OC; OA·OE; OB·OC; OB·OD; OD·OF; OC·OF;

Кадр 39

Объясните, почему: 1. а²=|а|²; 2. (а+b) с=а с+b с. Угол между ОА и ОВ – угол AOB. Угол между а и b – угол между а и b'. Угол между m и n равен нулю.

Кадр 40

Теорема. āb=|ā|·|b|·cosφ, где φ – угол между ā и b. ДАНО: φ – угол между ā и b |ā+b|²=|ā|²+ |b|²+2āb Пусть ДОКАЗАТЬ: āb=|ā|·|b|·cosφ Объясните, почему можно взять данную систему координат, и закончите доказательство.

Кадр 41

Проверьте свое доказательство.

Кадр 42

Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно, если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Кадр 43

К сведению учителя Диафильм предназначен для объяснения нового материала по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия 6–10»: кадры 1–10—Параллельный перенос и его свойства, кадр 11—Понятие вектора, кадры 12–18—Абсолютная величина и направление вектора, кадры 19–23—Координаты вектора, кадры 24–29—Сложение векторов, кадры 30–37—Умножение вектора на число, кадры 38–42—Скалярное произведение векторов. Каждый кадр содержит задания для учащихся, полезные в ходе объяснения. В кадрах 4–5, 13, 16, 18, 26–29, 32–33 чертежи служат материалом для проведения доказательств данных утверждений. Для того же предназначены врезки с формулами.

Кадр 44

Диафильм сделан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Е. Арутюнян Художник-оформитель Н. Дунаева Редактор Т. Разумова © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1984 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 Д-247-84