Многогранники

Кадр 1

Диафильм по геометрии для 10-го класса

Кадр 2

Назовите ребра, грани, вершины данного многогранника.

Кадр 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многогранник, две грани которого — n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы, называется n-угольной призмой. Докажите, что 1) боковые ребра призмы параллельны и конгруэнтны; 2) основания конгруэнтны. Используйте то, что АА₁(Φ)=Φ₁.

Кадр 4

Наклонная призма. Прямые призмы: боковые ребра перпендикулярны основаниям. Правильная призма: основание—правильный многоугольник. Докажите, что в правильной призме любое боковое ребро является высотой.

Кадр 5

Какие из данных многоугольников являются развертками 1) прямых призм; 2) правильных призм?

Кадр 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параллелепипедом называется призма, основания которой—параллелограммы. 1. Найдите на рисунке параллелепипеды. 2. Докажите, что все грани параллелепипеда—параллелограммы.

Кадр 7

ТЕОРЕМА. Середина диагонали параллелепипеда является его центром симметрии.

Кадр 8

1. Докажите, что противоположные грани параллелепипеда попарно конгруэнтны и параллельны. 2. Докажите, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Кадр 9

Найдите прямые и прямоугольные параллелепипеды. Как называется прямоугольный параллелепипед с равными измерениями?

Кадр 10

F—прямоугольный параллелепипед. |AB|=a, |BC|=b, |BB₁|=c. 1. Докажите, что |BD₁|²=a²+b²+c². 2. Сравните |BD₁| и |AC₁|.

Кадр 11

А₁, В₁, С₁, D₁—ортогональные проекции точек А, В, С, D на плоскость β; (β,l)=φ, 0°<φ<90°; l||a; m⊥a. Используя чертеж, объясните, что 1) |A₁B₁|=|AB|; 2) |C₁D₁|=|CD| • cos φ.

Кадр 12

ТЕОРЕМА. Если ΔABC⊂α, ΔA₁B₁C₁—его ортогональная проекция на плоскость β и (α,β)=γ<90°, то SΔA₁B₁C₁=SΔABC·cosγ. 1. Вычислите SΔA₁B₁C₁, если SΔABC=5 и γ=45°. 2. Как найти площадь ортогональной проекции произвольного многоугольника?

Кадр 13

ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ. α ⊥ [AA₁]. A₂B₂C₂D₂E₂ — перпендикулярное сечение. P — его периметр. 1. Докажите, что Sбок = |AA₁| • P. 2. Как найти Sбок прямой призмы, зная боковое ребро и периметр основания?

Кадр 14

Найдите Sбок. этих призм.

Кадр 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многогранник, одна из граней которого-многоугольник, а остальные грани-треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Найдите на чертеже пирамиды. Назовите основание, вершину, боковые грани, боковые ребра, высоту пирамиды SABСDE.

Кадр 16

Это—ПРАВИЛЬНАЯ пирамида: основание — правильный треугольник, а вершина проецируется в его центр. Верно ли, что все боковые ребра и грани правильной пирамиды конгруэнтны? Являются ли данные многоугольники развертками правильных пирамид?

Кадр 17

[SM] ⊥ [FE] [SM] — апофема пирамиды. Докажите, что для правильной пирамиды Sбок.=P·hбок., где Р — периметр основания, hбок. — апофема. Как найти Sбок. и Sполн. правильной пирамиды SABCDEF, если |SM|=10, |AB|=5?

Кадр 18

ТЕОРЕМА. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, можно отобразить на основание гомотеией с центром в ее вершине. (ABC) || (A₁B₁C₁) Докажите эту теорему.

Кадр 19

(ABC) || (A₁B₁C₁) Это—усеченная пирамида. [0,0] — ее высота. Какую форму имеют боковые грани усеченной пирамиды?

Кадр 20

Из правильной пирамиды получается ПРАВИЛЬНАЯ усеченная пирамида. Обоснуйте для нее формулу Sбок. = ½(P+P₁) · hбок. Вычислите Sбок. и Sполн. данной правильной усеченной пирамиды.

Кадр 21

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многогранник называется правильным, если все его граниконгруэнтные правильные многоугольники и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней. Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр 1. Существует ли призма, являющаяся правильным многогранником? 2. Существует ли такая пирамида?

Кадр 22

Существует 5 выпуклых правильных многогранников. А сколько существует правильных выпуклых многоугольников?

Кадр 23

F—многогранник; V—его объем.

Кадр 24

Пользуясь формулой объема прямоугольного параллелепипеда, высчитайте объемы данных многогранников.

Кадр 25

ТЕОРЕМА. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту. ДАНО: F — прямая призма; |AA₁|=H Какие дополнительные построения можно использовать для доказательства? ДОКАЗАТЬ: V=SΔABC⋅H

Кадр 26

ДАНО: F — прямая призма; |AA₁|=H ABKP—прямоугольник, [CD]⊥[AB], AK₁—прямоугольный параллелепипед. V_F₁=V_APCA,P₁C₁ V_F₂=V_BKC B₁K₁C₁ V=V_F₁+V_F₂=½ V_AK₁=½H… ДОКАЗАТЬ: V=S_ΔABC⋅H

Кадр 27

ДАНО: A₁...Aₙ B₁...Bₙ — прямая призма; n > 3; |A₁B₁| = H, S₈₁...Aₙ = Q. V = V₁ + ... + Vₙ₋₂ = = Q • H₁ + ... + Qₙ₋₂ • H ДОКАЗАТЬ: V = Q • H

Кадр 28

Палатка имеет форму прямой призмы. Вычислите ее объем.

Кадр 29

ТЕОРЕМА. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Кадр 30

ДАНО: F — наклонная призма; A₂B₂C₂D₂ — перпендикулярное сечение. A₂C₃ — прямая призма, |A₂A₃|=|AA₁| Vₐ₂C₁ = Vₐ₂C₃; Vₐ₂C₁ = V + Vₐ₂C'; Vₐ₃C = Vₐ₂C₃ + Vₐ₂C₃ V = Vₐ₂C₃ V = Sₐ₂B₂C₂D₂ · |AA₁| ДОКАЗАТЬ:

Кадр 31

ДАНО: |AA₁|=l; |A₁O|=H—высота; A₂B₂C₂—перпендикулярное сечение. φ — угол между плоскостями (ABC) и (A₂B₂C₂). 1. Sᴀ₂B₂C₂ = Sᴀʙᴄ · cos φ 2. AA₁O = φ 3. l = H/cos φ ДОКАЗАТЬ: V = Sᴀʙᴄ · H

Кадр 32

TEOPEMA. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: V=¹/₃Q·H. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD.

Кадр 33

Вычислите объем каждого многогранника.

Кадр 34

Диафильм предназначен для объяснения нового материала при изучении главы «Многогранники» учебного пособия «Геометрия 9–10». Последовательность кадров соответствует порядку изложения материала в пособии (заключительный кадр, относящийся к каждому пункту пособия, отмечен черным треугольничком в правом нижнем углу). Изображения предметов в некоторых кадрах можно использовать как примеры многогранников. Доказательства теорем даны в виде схемы: условие теоремы—заключение. Дополнительные предложения выполнены синим цветом. Многоточие показывает пропуск в доказательстве, который должны восполнить учащиеся. Если доказательство занимает не один кадр, обсуждения в каждом кадре требуют элементы, выделенные красным цветом.

Кадр 35

КОНЕЦ Диафильм по математике для 10-го класса сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор Е. АРУТЮНЯН Художник-оформитель Н. ДУНАЕВА Редактор Н. ЗАЙЦЕВА Д-294-79 © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1979 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30

Кадр 36