Свойства треугольников

Кадр 1

СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Диафильм по геометрии для VI класса

Кадр 2

Если , то ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Сформулируйте эту теорему. В каком случае ΔEKM=ΔE₁K₁M₁ по первому признаку равенства?

Кадр 3

Попробуйте объяснить приведенное доказательство.

Кадр 4

Проведите доказательство, обосновывая каждый вывод ссылкой на соответствующую аксиому.

Кадр 5

Если , то ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Сформулируйте эту теорему. В каком случае ΔEKM = ΔE₁K₁M₁, по второму признаку равенства?

Кадр 6

Попробуйте объяснить приведенное доказательство.

Кадр 7

Проведите доказательство, обосновывая каждый вывод ссылкой на соответствующую аксиому. Условие: Существует ΔА₁В₁С₁=ΔАВС: 1. В₂ совпадает с В₁, 2. А₁С₂ совпадает с А₁С₁ и В₁С₂ совпадает с В₁С₁. Заключение: ΔАВС = ΔА₁В₁С₁.

Кадр 8

Равнобедренный треугольник В каких случаях ΔKMP— равнобедренный? Назовите в этих случаях боковые стороны и основание. 1. KM=2, MP=5, KP=5; 2. KM=5, MP=3, KP=4; 3. KM=2, MP=2, KP=2; 4. KM=4, MP=2, KP=4; 5. KM=3, MP=2, KP=2. Равносторонний.

Кадр 9

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Докажите эту теорему, используя схему: Условие: … признак равенства … ΔСВА = ΔСАВ определение … треугольников Заключение: ∠B = ∠A

Кадр 10

Используя доказанную теорему, докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Кадр 11

Теорема. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Докажите эту теорему, используя схему: Условие: … признак равенства … ΔABC=ΔBAC определение … треугольников Заключение: AC=BC

Кадр 12

Посмотрите на эти две теоремы. Что вы заметили? Эти теоремы можно записать в общем виде так: 1. A→B 2. B→A Такие теоремы называются взаимно обратными.

Кадр 13

Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению о том, что в равностороннем треугольнике все углы равны.

Кадр 14

Отрезок BD—высота ΔABC, отрезок PL—высота ΔPMK.

Кадр 15

AL—биссектриса ΔABC, проведённая из вершины А. КМ—медиана ΔEKP, проведённая из вершины К. Сформулируйте определение биссектрисы и медианы треугольника.

Кадр 16

Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Выделите условие и заключение этой теоремы. Какой из чертежей соответствует ее условию?

Кадр 17

Условие: Заключение: CD—биссектриса и CD—высота Объясните сделанные выводы и попробуйте закончить доказательство.

Кадр 18

Проверьте свое доказательство. Условие: ΔACD = ΔBCD ∠ACD=∠BCD ∠ADC=∠BDC CD⊥AB Заключение: CD–биссектриса и CD–высота

Кадр 19

Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Кадр 20

Если , то ΔABC=ΔA₁B₁C₁. Сформулируйте эту теорему. В каком случае ΔEKM=ΔE₁K₁M₁ по третьему признаку равенства?

Кадр 21

Попробуйте объяснить приведенное доказательство.

Кадр 22

Проведите доказательство по схеме.

Кадр 23

AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠C = ∠C₁ = 90°. Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁. Решение. 1. Пусть CD = AC и C₁D₁ = A₁C₁. 2. ΔABC = ΔDBC и ΔA₁B₁C₁ = ΔD₁B₁C₁ по I признаку. 3. AB = DB, A₁B₁ = D₁B₁. 4. ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по III признаку. 5. ∠A = ∠A₁. 6. ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по I признаку. Объясните это решение.

Кадр 24

Признаки параллельности прямых 1. Если а || с и β || с, то а || β. Объясните, какая аксиома используется в следующем доказательстве этого признака. Условие: а || с, β || с Предположим противное: Через С проходят а || с и β || с, противоречие Заключение: а || β

Кадр 25

Прямая AC — секущая. ∠BAC и ∠DCA — внутренние односторонние (В и D — в одной полуплоскости); ∠BAC и ∠KCA — внутренние накрест лежащие (В и К — в разных полуплоскостях). Какие еще пары внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов образует секущая AC с прямыми AB и CD? Докажите: 1. Если ∠1 = ∠2, то ∠3 = ∠4 и ∠1 + ∠4 = ∠3 + ∠2 = 180°. 2. Если ∠1 + ∠4 = 180°, то ∠3 + ∠2 = 180°, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

Кадр 26

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Объясните, почему безразлично, какое из этих утверждений доказывать; выделите в каждом из них условие и заключение.

Кадр 27

Условие: Пусть а ∦ b Заключение: a || b Попробуйте объяснить это доказательство.

Кадр 28

Используя доказанный признак параллельности, объясните решение задачи.

Кадр 29

Теорема. Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°. 1. Объясните, почему эта теорема обратна признаку параллельности. 2. Объясните, почему достаточно доказать только одно из утверждений, содержащихся в заключении теоремы.

Кадр 30

Объясните доказательство теоремы. Условие: Пусть ∠1 + ∠2 = 180°; α₁ || β; α₁ совпадет с α. Заключение:

Кадр 31

Используя доказанную теорему, объясните решение задачи. Дано: ∠ABC = 80°, ∠BCD = 120°. Может ли быть, что AB || CD? Решение. Пусть AB || CD. Тогда: 1. Либо или либо 2. Значит, либо ∠ABC + ∠BCD = 180°, либо ∠ABC = ∠BCD. 3. Но ∠ABC + ∠BCD = 200° и ∠ABC ≠ ∠BCD. Ответ: AB∦CD.

Кадр 32

Докажите, что: 1. Если а⊥с и b⊥с, то а||b. 2. Если а||b и с⊥a, то с⊥b.

Кадр 33

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°. Может ли в треугольнике быть только один острый угол?

Кадр 34

Условие: ΔABC Пусть BO=OC, OD=OA ΔBOD=ΔCOA AC || BD ∠DBA = ∠ABC + ∠ACB Заключение: ∠A + ∠B + ∠C = 180° Попробуйте объяснить это доказательство.

Кадр 35

Проведите доказательство по схеме. Условие: ΔАВС Пусть ΔBOD = ΔCOA ∠DBO = ∠ACO AC || BD ∠DBA = ∠ABC + ∠ACB ∠CAB + ∠DBA = 180° Заключение: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

Кадр 36

Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. Выделите в этой теореме условие и заключение.

Кадр 37

Докажите теорему о внешнем угле треугольника. Условие: ∠A+∠B+∠C=180° ∠CBD=180°-∠B Заключение: ∠CBD=∠A+∠C Объясните, почему внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Кадр 38

Прямоугольный треугольник Признаки равенства прямоугольных треугольников: 1. По гипотенузе и острому углу. 2. По катету и противолежащему углу. 3. По гипотенузе и катету. Докажите эти признаки.

Кадр 39

Доказать, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Решение. 1. ∠ A = 60°. 2. Пусть CD = AC. 3. Δ ABC = Δ DBC. 4. ∠ D = ∠ A = 60°, ∠ DBC = ∠ CBA = 30°. 5. ∠ B = 60°. 6. AB = BD = DA. 7. AC = ½ AD = ½ AB. Объясните это решение.

Кадр 40

Теорема. Из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один. I. Используя схему, докажите существование перпендикуляра к прямой. Условие: Заключение: существует AB–перпендикуляр к α.

Кадр 41

Докажите единственность перпендикуляра к прямой.

Кадр 42

AB называется расстоянием между α и β.

Кадр 43

К сведению учителя Диафильм предназначен для объяснения нового материала при изучении параграфов «Признаки равенства треугольников» и «Сумма углов треугольника» учебника «Геометрия 6–10» А. В. Погорелова. Диафильм разбит на фрагменты в соответствии с пунктами указанных параграфов; конец фрагмента отмечен знаком ▲. Как правило, доказательство теоремы представляется в двух видах: с меньшей и с большей степенью подробности. Учитель может сначала изложить доказательство, фиксируя лишь основные моменты, а затем (при желании!) разобрать каждый момент более подробно по следующему кадру. Следует иметь в виду, что в диафильме нигде не приводятся ссылки на аксиомы и теоремы: учитель должен разъяснить эти ссылки на удобном ему уровне строгости.

Кадр 44

КОНЕЦ Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор кандидат педагогических наук Е.Б. АРУТЮНЯН Художник-оформитель В.И. ЕРМОЛАЕВА Редактор И.П. КРЕМЕНЬ Д-211-86 © Студия «ДИАФИЛЬМ» Госкино СССР, 1986 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной

Кадр 45

По заказу Министерства просвещения РСФСР ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ Диафильм по химии для старших классов

Кадр 46

Властибості твердих тіл (Діафільм для ІХ класу середньої школи)