Декартовы координаты и векторы в пространстве

Кадр 1

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Диафильм по математике для IX (X) классов

Кадр 2

Введение декартовых координат в пространстве Начало координат—точка О. Три координатных оси: x, y, z. Три координатных плоскости: xy, yz, xz. Координата x точки А—это координата точки Аₓ на оси x. Найдите координату x точки А; координату y точки В.

Кадр 3

Точка X с координатами x, y, z обозначается X (x, y, z). В какой плоскости лежит точка N? точка K? На какой прямой лежит точка M? Какие из точек A (1, 2, 3), B(0, 1, 2), C(0, 0, 3), P(1, 2, 0) лежат в плоскости xy? в плоскости yz? на оси z?

Кадр 4

AB∦z. Найдем длину AB. 1. Пусть AA₁ || z, BB₁ || z. 2. Тогда A₁(x₁, y₁, 0), B₁(x₂, y₂, 0). 3. Пусть BC || A₁B₁ (в плоскости ABB₁). 4. Тогда AB² = AC² + BC² = AC² + A₁B₁² = (z₂ - z₁)² + (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² . AB = √( (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² ). Объясните каждый шаг приведенного рассуждения. Какой будет результат, если AB || z?

Кадр 5

ЗАДАЧА. В плоскости xy найдите точку М, равноудаленную от трех данных точек: А (0, 1, -1), В (-1, 0, 1), С (0, -1, 0). Объясните и закончите решение.

Кадр 6

Найдем координаты точки C(x, y, z) – середины AB. 1. Пусть AA₁ || z, BB₁ || z, CC₁ || z. 2. Тогда A₁(x₁, y₁, 0), B₁(x₂, y₂, 0). 3. Тогда C₁ ( (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, 0). 4. Но C₁(x, y, 0). 5. Значит, x = (x₁+x₂)/2, y = (y₁+y₂)/2. 6. Пусть AA₂ || x, BB₂ || x, CC₂ || x. 7. Тогда z = (z₁+z₂)/2. Ответ: C( (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2 ). Объясните каждый шаг приведенного рассуждения.

Кадр 7

ЗАДАЧА. Докажите, что четырёхугольник ABCK с вершинами A(1, 2, 3), B(0, 2, 4), C(1, 1, 4), K(2, 2, 2)—параллелограммом. Каким признаком параллелограмма удобно воспользоваться для решения этой задачи? Решите ее.

Кадр 8

Сформулируйте определения преобразований в пространстве: симметрии относительно точки, симметрии относительно прямой, гомотетии.

Кадр 9

Симметрия относительно плоскости: (AK⊥α, K∈α, KA₁=KA) ↔ (A и A₁ симметричны относительно плоскости α). (PEα) ↔ (P симметрично себе относительно плоскости α). Назовите отрезок, симметричный относительно плоскости α 1) отрезку PA; 2) отрезку AK; 3) отрезку PK; 4) отрезку AA₁.

Кадр 10

ЗАДАЧА. Найти точки, симметричные относительно координатных плоскостей точкам: A(1, 2, 3), B(0, —1, 2), C(1, 0, —3). Определите, как связаны координаты x точек A и A₁, их координаты y и их координаты z, и решите задачу.

Кадр 11

Вспомните, какое преобразование называется движением. Симметрии относительно точки, прямой, плоскости — движения. При движении: 1) прямая → прямая; 2) луч → луч; 3) отрезок → отрезок; 4) сохраняются углы между лучами. Пусть при движении точки А, В, С плоскости α, не лежащие на прямой, переходят в точки А₁, В₁, С₁ плоскости α₁. Докажите, что α переходит в α₁.

Кадр 12

Вспомните, какими формулами задается параллельный перенос на плоскости. Параллельный перенос в пространстве: {x'= x+a y'= y+b z'= z+C Закончите утверждения: если параллельный перенос переводит A в A', B в B', то: 1. AB = … 2. AA' || … (или …), AA' = … 3. Прямая переходит в … (или в …). 4. Для любых M и M' существует единственный … переводящий … 5. Два параллельных переноса, выполненные последовательно, дают … 6. Преобразование, обратное параллельному переносу, есть …

Кадр 13

Найдите a, b и c в формулах параллельного переноса, который переводит А в А'.

Кадр 14

Докажите, что при параллельном переносе плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную плоскость.

Кадр 15

Сформулируйте определения гомотетии и преобразования подобия.

Кадр 16

a и b — скрещивающиеся прямые; a' || a, b' || b. Тогда угол между a и b — это угол между a' и b'.

Кадр 17

Сформулируйте, восползовавшись чертежом, определение угла между прямой и плоскостью. Докажите, что угол между прямой и плоскостью дополняет до 90° угол между прямой и перпендикуляром к плоскости.

Кадр 18

Расстояние от А до α равно h. Найдите длины наклонных, проведенных к α из А под углом 30°; 45°; 60°.

Кадр 19

Если плоскости параллельны, то угол между ними считается равным нулю.

Кадр 20

Угол между α и β равен 30°. α и β пересекаются по прямой а. А лежит в α и отстоит от β на расстояние h. Найдите расстояние от А до а.

Кадр 21

Проверьте свое решение. ДАНО: Угол между α и β равен 30°. А лежит в α и отстоит от β на расстояние h. Найти расстояние от А до а. (AB⊥β, AC⊥a)→(BC⊥a). Почему? (AC⊥a, BC⊥a)→(∠ACB = 30°). Почему? Тогда AC = h: 1/2 = 2h. Но AC — это расстояние от А до а. (Почему?) Ответ: 2h. AB⊥β, AC⊥a.

Кадр 22

Площадь ортогональной проекции многоугольника Ортогональная проекция на плоскость—это параллельная проекция в направлении, перпендикулярном плоскости. В каком случае проекция фигуры F на плоскость α является ортогональной?

Кадр 23

ТЕОРЕМА. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Докажите теорему для треугольника и плоскости, проходящей через его сторону.

Кадр 24

ДОКАЗАТЬ: S проекции=S · cos φ, где φ — угол между плоскостями. Докажите теорему для треугольника и плоскости, параллельной его стороне.

Кадр 25

ДОКАЗАТЬ: Sпроекции = S • cosφ, где φ — угол между плоскостями. Докажите теорему для треугольника и произвольной плоскости.

Кадр 26

ДОКАЗАТЬ: S проекции = S · cos φ, где φ — угол между плоскостями. Докажите теорему для общего случая.

Кадр 27

Вспомните, что такое: ВЕКТОР, АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА, НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА, РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ. Все эти понятия в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

Кадр 28

Среди данных векторов найдите равные.

Кадр 29

ā (a₁, a₂, a₃)+ b (b₁, b₂, b₃) = c (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) Докажите, что ĀB + BC = AC.

Кадр 30

Чему равен |λā|? Как направлен вектор λā, если λ > 0? если λ < 0?

Кадр 31

Найти в плоскости xy точку B, если векторы AB и ā коллинеарны. Закончите и объясните решение.

Кадр 32

Если ā = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃), то āb = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ — скалярное произведение векторов ā и b. Докажите, что ā|ā|² = a₁² + a₂² + a₃². Докажите, что (ā ⊥ b) ⇔ (āb = 0). āb = |ā| · |b| · cosφ.

Кадр 33

Найдите косинус угла между AB и CM, используя следующій план решения: 1. AB=(....,....,....), CM=(....,....,....). 2. |AB|=...., |CM|=.... . 3. AB·CM=....+....+....=.... . 4. cos φ=.... .

Кадр 34

Проверьте свое решение.

Кадр 35

ā = (ā₁, ā₂, ā₃). Докажите, что ā = ā₁ē₁ + ā₂ē₂ + ā₃ē₃.

Кадр 36

α — плоскость; А₀, А — точки α; n ⊥ α. Найдите координаты вектора А₀А и определите, чему равно скалярное произведение n · А₀А.

Кадр 37

Так как n · A₀A = 0, то a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0.

Кадр 38

Найдите по следующему плану уравнение плоскости α, если А лежит в α и AB⊥α: 1. AB=(..., ..., ...). 2. Значит, уравнение плоскости: ...x + ...y + ...z + d = 0. 3. Чтобы найти d, подставим в это уравнение координаты точки ... . 4. Получим, что d=... .

Кадр 39

Проверьте свое решение. Как еще можно записать это уравнение?

Кадр 40

Докажите, что прямая в пространстве задается системой уравнений: { a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0; { a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Кадр 41

Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Е. АРУТЮНЯН Художник-оформитель В. ЕРМОЛАЕВА Редактор И. КРЕМЕНЬ Д-ІІІ-87 © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1987 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30