Непрерывные функции

Кадр 1

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

Кадр 2

Из обиходного значения слова „непрерывность“ рождается такое представление: функция непрерывна на некотором промежутке, если ее график на этом промежутке можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги.

Кадр 3

На каком промежутке непрерывна линейная функция?

Кадр 4

Найдите промежутки непрерывности каждой из следующих функций:

Кадр 5

Найдите промежутки непрерывности каждой из следующих функций:

Кадр 6

Проверьте по этим графикам правильность ваших ответов.

Кадр 7

Найдите промежутки непрерывности следующих функций:

Кадр 8

Верно ли, по-вашему, следующее утверждение? Если x мало отличается от 10, то lgx мало отличается от 1.

Кадр 9

Точка x₀=10 принадлежит промежутку ]0;+∞[. Функция lgx непрерывна на этом промежутке. Значит, если x мало отличается от 10, то lgx мало отличается от lg 10.

Кадр 10

В каком из этих двух случаев можно пользоваться приближенными формулами: f (9,99)≈1, f (10,01)≈1? Чем вы это объясняете?

Кадр 11

Строгое определение понятия непрерывности функции было дано в прошлом веке французским математиком Огюстеном Луи Коши. Он построил свое определение с помощью понятия предела функции в точке: Функция f (x) называется непрерывной на некотором промежутке, если для любой точки x₀ этого промежутка lim f (x)=f (x₀). x→x₀ Коши Огюстен Луи (1789—1857).

Кадр 12

f (x) непрерывна на промежутке Ӯ. Для любой точки x₀ из промежутка Ӯ: lim f(x)=f (x₀) x→x₀ Для любой точки x₀ из промежутка Ӯ: если x мало отличается от x₀, то f (x) мало отличается от f(x₀). График f (x) — непрерывная линия На каких из данных промежутков выполняются все эти условия?

Кадр 13

С помощью определения, данного Коши, можно доказать следующие теоремы. 1. Если функции f и g непрерывны на промежутке, то функции f+g и f·g непрерывны на этом промежутке. Используя непрерывность линейной функции, докажите с помощью этой теоремы непрерывность данных функций на всей числовой прямой. Как закончить построение графиков этих функций?

Кадр 14

2. Если функции f и g непрерывны на промежутке и функция g не обращается на этом промежутке в нуль, то функция — непрерывна на этом промежутке. 1) Докажите, что функция y=— непрерывна на промежутках ]—∞; 0[ и ]0;+∞[. 2) На каких промежутках непрерывна функция y=— ?

Кадр 15

Объясните, почему верна следующая теорема: 3. Рациональная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена.

Кадр 16

На каких промежутках непрерывны эти функции? Почему?

Кадр 17

Используя непрерывность рациональных функций, можно объяснить и непрерывность некоторых других. Пример. Закончите рассуждения, показывающие, что функция y=√x непрерывна на промежутке ]0;+∞[.

Кадр 18

Проверьте свое рассуждение. y=√x — функция, обратная функции y=x² на [0;+∞[. График y=√x и y=x² симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. y=x² — рациональная функция. y=x² — непрерывна на [0;+∞[. График y=x² — непрерывная линия. График y=√x — непрерывная линия.

Кадр 19

Аналогичным образом покажите, что функция y=√ⁿx непрерывна на [0;+∞[.

Кадр 20

Пусть f (x) непрерывна на ]a; b[ и не обращается в нуль. Тогда f (x) на ]a; b[ сохраняет постоянный знак. Поясните этот факт на графике. Сколько значений функции f надо вычислить, чтобы определить знак f на этом промежутке ]a; b[?

Кадр 21

На указанном свойстве непрерывных функций основан метод интервалов, сводящий решение неравенств к решению уравнений. Задача. Решить неравенство f(x)>0. План решения. 1. Находим промежутки непрерывности функции f(x). 2. Решаем уравнение f(x)=0. 3. На каждом промежутке, где f (x) непрерывна и f (x)≠0, находим знак функции в какойнибудь точке. Объясните этот метод.

Кадр 22

Решим методом интервалов неравенство: x³ – 6x²+8x < 0.

Кадр 23

Проверьте свое решение. f(x)=x³–6x²+8x Заметит, решение неравенства f(x)<0–множество]–∞; 0[∪]2; 4[.

Кадр 24

Решим методом интервалов неравенство: x³ – 6x² + 9x < 0.

Кадр 25

Проверьте свое решение. f(x)=x³-6x²+9x

Кадр 26

Решим методом интервалов неравенство: x²–9 x²–7x+10 <0, обосновывая каждый шаг рассуждений. Решение. 1. Область определения функции f(x)= x²–9 x²–7x+10 — это …. 0 2 5 2. Функция f(x) непрерывна в каждой точке области определения, т.к. это … функция. 3. f(x) обращается в нуль в точках …. -3 0 3 x

Кадр 27

4. На каждом из этих пяти промежутков функция f(x) сохраняет постоянный знак. Почему? Найдте значения: f(-4); f(0); f(2,5); f(4); f(6).

Кадр 28

Значит, решением неравенства f(x)<0, где f(x)=x²-9/x²-7x+10, является множество ]-3; 2[∪]3; 5[

Кадр 29

К сведению учителя Диафильм предназначен для объяснения определения непрерывной функции (к. 1—12), теорем о непрерывных функции (к. 13—19), метода интервалов (к. 20—28). Дадим пояснения к отдельным кадрам. Кадр 3. Непрерывность линейной функции вытекает из того, что известно: ее график можно провести без отрыва карандаша от бумаги, так как этот график—прямая линия. Кадры 4—5. Все рассматриваемые здесь функции—линейные либо кусочно-линейные, откуда следует их непрерывность на соответствующих промежутках. В точках стыков непрерывность устанавливается отдельно. Кадр 7. Можно считать, что график логарифмической функции учащимся известен, и на этом основании сделать вывод о непрерывности данной функции на всей области определения. В сильном классе можно объяснить, что полное доказательство непрерывности логарифмической функции в школе не рассматривается.

Кадр 30

Кадр 12. Здесь сосредоточены разные определения непрерывности, данные на разных уровнях строгости. Наличие в диафильме всех этих определений дает возможность использовать его практически при любой модификации учебников. Учитель остановится, как на основном, на том определении, которое дано в учебнике. Кадры 17–18. Рассуждение здесь представлено в виде схемы. Каждое следствие, обозначенное красной стрелкой, следует обсудить. Кадр 20. Нужно подчеркнуть, что если непрерывная функция в двух точках имеет разные знаки, то ее график должен пересекать ось Ох. Кадры 26–28 являются обобщающими: решая поставленную в них задачу, учащиеся используют все сведения, полученные в ходе изучения непрерывности.

Кадр 31

Диафильм по математике для 9-го класса сделан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Е. АРУТЮНЯН Художник-оформитель И. ШАТАЛОВА Редактор В. АНИСИМОВА © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1982 г. 101 000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7. Цветной 0-30 Д-148-82