Тела вращения

Кадр 1

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Диафильм по геометрии для X класса

Кадр 2

Изучение тел вращения начнем с примеров. Пусть α₁ || α₂. Все отрезки X₁X₂ образуют цилиндр. M₁M₂ — одна из его образующих. Если M₁M₂ ⊥ α₁, то цилиндр прямой. Поверхность цилиндра состоит из двух оснований и боковой поверхности. Какие известные вам предметы имеют форму цилиндра?

Кадр 3

Какое тело получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны? Радиус r Высота h Ось l Осевое сечение ABCD Касательная плоскость α 1. Каково взаимное расположение оси и образующих? 2. Осевое сечение цилиндра — квадрат площади S. Найдите площадь основания цилиндра.

Кадр 4

Теорема. Плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания. Пусть α ⊥ l. Рассмотрите параллельный перенос, который совмещает O₂ с A, и докажите теорему.

Кадр 5

ABCA₁B₁C₁ — вписанная призма. Чем служат ее боковые ребра? DEFD₁E₁F₁ — описанная призма. Чем служат плоскости ее боковых граней? 1) Пусть ML — правильная призма. 2) O₁O₂ = O₁N. Найти угол между MN и O₁O₂.

Кадр 6

Все отрезки SX образуют конус. SM — одна из его образующих. Если SO⊥ α, то конус прямой. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Какие известные вам предметы имеют форму конуса?

Кадр 7

Какое тело получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета? Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Найдите площадь сечения SMN. Вершина S Высота h Ось 1 Осевое сечение SAB Касательная плоскость α

Кадр 8

Теорема. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса. Пусть β ⊥ l . Рассмотрите гомотетию относительно S, совмещающую β с α, и докажите теорему.

Кадр 9

α ⊥ SO. Объясните, почему тело, которое α отсекает от конуса, — тоже конус. Остаток — усеченный конус. Задача. SO₁ = d, SO = H, OA = R. Найти площадь сечения. Решение. Пусть O₁A₁ = r. 2r/R = d/H, r = Rd/H… Объясните полученные равенства и закончите решение.

Кадр 10

SABC — вписанная пирамида. Чем служат ее боковые ребра? S₁A₁B₁C₁ — описанная пирамида. Чем служат плоскости ее боковых граней? SA = SB = SC = SD = 1. Докажите, что эта пирамида вписана в некоторый конус.

Кадр 11

Все точки X, для которых OX < R, образуют шар. O — центр, R — радиус. OM = R, точка M принадлежит сфере. MN — диаметр, M и N — диаметрально противоположные точки. Какое тело получается при вращении полукруга вокруг его диаметра?

Кадр 12

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью — круг. Центр этого круга — основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Кадр 13

Объясните, почему плоскости, равноудаленные от центра шара, пересекают его по равным кругам. r =√R² – CO². В каком случае в сечении получается наибольший круг? Чему равен радиус большого круга?

Кадр 14

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии. План доказательства. I. Пусть точка X принадлежит шару, X₁ симметрична X относительно α. Покажем, что OX₁=OX, и сделаем вывод о принадлежности X₁ шару. II. Пусть X₂ симметрична X относительно O. Сделаем вывод о принадлежности X₂ шару.

Кадр 15

Если точка А принадлежит сфере и плоскости α, α⊥OA, то α—касательная плоскость, А—точка касания. Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку—точку касания. Используя свойство перпендикуляра и наклонной, докажите теорему.

Кадр 16

Если А принадлежит сфере и прямой 1, ⊥OA, то l-касательная. Теорема. Через любую точку сферы проходит бесконечно много касательных, причем все они лежат в касательной плоскости. Для доказательства рассмотрите 1) любую прямую, проходящую через А в касательной плоскости; 2) любую касательную, проходящую через А. Сколько общих точек имеет касательная с шаром?

Кадр 17

Пусть X лежит на сфере радиуса R с центром A. Тогда AX² = R². (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² – уравнение сферы. Какое уравнение имеет сфера радиуса R с центром в начале координат?

Кадр 18

Задача. Найти уравнение сферы, проходящей через точки (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0). Решение. (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R². a²+b²+c²=R² a²+b²+(l-c)²=R² a²+(l-b)²+c²=R² (l-a)²+b²+c²=R² a²+b²+c²=R² 2c-l=0 2b-l=0 2a-l=0 a=½, b=½, c=½. Найдите R и закончите решение задачи.

Кадр 19

Теорема. Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Кадр 20

Задача. OA=O₁A=R,OO₁=R. Найти длину линии пересечения сфер. Решение: 1. Искомая линия — … . 2. ΔАО₁О₁ — … . 3. Радиус окружности равен … треугольника ОАО₁. 4. Длина искомой линии равна… . Восстановите решение.

Кадр 21

Пусть R—радиус основания, Н—высота цилиндра. Найдем объем V. 1. Пусть P₁ содержит основание, P₂ содержится в основании, а их площади отличаются от πR² меньше, чем на ε. 2. Построим призмы. 3. H(πR² - ε) < V < H(πR² + ε). V = πR²H Найдите объем цилиндра с диаметром основания 4 и высотой 2.

Кадр 22

Пусть R—радиус основания, Н—высота конуса. Формула его объема выводится аналогично формуле объема цилиндра, но вместо призм строятся пирамиды. V = ⅓πR²H Найдите объем конуса с высотой 3 и диаметром основания 6.

Кадр 23

Задача. Радиусы оснований — R₁ и R₂(R₂ < R₁), O₁O₂ = h. Найти объем усеченного конуса. Решение. I. Дополним усеченный конус до полного с вершиной S. Пусть SO₁ = x. 2. x/x-h = R₁/R₂, x = hR₁/(R₁-R₂). 3. V = ⅓π[R₁²/ (R₁-R₂) - R₂²/ (R₁-R₂) ]hR₁ - R₂ = ⅓πh(R₁² + R₁R₂ + R₂²). Объясните каждый шаг этого решения.

Кадр 24

Пусть дано тело вращения: плоскости, перпендикулярные оси вращения l, пересекают его по кругам с центрами на l. Примем l за ось x. Сечение тела плоскостью xy симметрично относительно оси. V(x) — объем части тела, лежащей левее плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через ее точку x. Вспомните, как определяется производная функции V(x).

Кадр 25

Объясните эти вычисления.

Кадр 26

Задача. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y = √x, y = 0, x = 4. Решение. В данном случае a=..., b=..., f(x)=... . Из формулы объема тела вращения получаем: V = ∫πx dx = πx²/2 |₀⁴ = ... . Объясните и закончите решение.

Кадр 27

Объясните вычисления.

Кадр 28

V = πR²(b - a) - ⅓(b³ - a³) 1. Найдем объем всего шара: a = -R, b = R. V = ⁴⁄₃πR³ 2. Найдем объем шарового сегмента высоты H: a = R - H, b = R. V = πH²(R - ⅓H)

Кадр 29

Задача. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его в отношении 1:3. В каком отношении делится объем шара? Объясните решение.

Кадр 30

Объем шарового сектора получается сложением (1) или вычитанием (2) объемов сегмента и конуса.

Кадр 31

Считается, что площадь поверхности «гриба» больше площади квадрата в V₁/V₂ раз. Так как V₂ = h • l • l, то площадь поверхности «гриба» оценивается величиной V₁/h.

Кадр 32

Пусть F — данная поверхность. Fh — тело, состоящее из всех точек пространства, для каждой из которых найдется точка поверхности F на расстоянии, не большем h. Vh — объем Fh. S = lim h→0 Vh 2h называется площадью поверхности F.

Кадр 33

Пусть F – сфера радиуса R. Что представляет собой тело Fh? Чему равно Vh?

Кадр 34

Объясните, как получена формула.

Кадр 35

Задача. AB, BC, CA – диаметры шаров. ∠B – прямой. Как связаны площади поверхностей этих шаров? Решение. 1. Пусть R₁, R₂, R₃ – радиусы шаров. 2. Тогда S₁ = ..., S₂ = ..., S₃ = ... . 3. По теореме Пифагора 4R₁² + 4R₂² = ... . Ответ: S₃ = ... + ... . Восстановите решение.

Кадр 36

Пусть F — боковая поверхность цилиндра радиуса R и высоты H. Что представляет собой тело Fh? Как узнать, в каких пределах заключено число Vh?

Кадр 37

Vh < [π(R+h)² - π(R-h)²] · (H+2h), Vh > [π(R+h)² - π(R-h)²] · H. 4πRhH < Vh < 4πRh(H+2h). 2πRH < Vh/2h < 2πRH + 4πRh. lim h→0 Vh/2h = 2πRH. S = 2πRH Объясните, как получена формула.

Кадр 38

Площади боковой поверхности конуса и поверхности сферического сегмента определяются аналогично. 1. Найдите площадь боковой поверхности конуса радиуса 1 и высоты 1. 2. Плоскость делит диаметр шара в отношении 1:3. Найдите отношение поверхностей полученных сферических сегментов.

Кадр 39

Задача. Площадь основания цилиндра Q, а площадь осевого сечения М. Найти полную поверхность цилиндра. Решение. 1. М=2RH. 2. Sбок=πM. 3. Sполн=2Q+πM. Объясните решение.

Кадр 40

Задача. Доказать, что полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, имеющего диаметром его высоту.

Кадр 41

К сведению учителя Диафильм предназначен для объяснения нового материала по учебнику А.В.Погорелова «Геометрия 6–10»: кк. 1–5—цилиндр, кк. 6–10—конус, кк. 11–16—шар, кк. 17–20—уравнение сферы, кк. 21–23—объемы цилиндра и конуса, кк. 24–26—общая формула для объемов тел вращения, кк. 27–30—объем шара и его частей, кк. 31–32—понятие площади поверхности, кк. 33–35—площадь сферы, кк. 36–40—боковая поверхность конуса. Конец каждого фрагмента имеет значок 🔺 Большинство задач взяты из названного учебника. Планы доказательств, врезки с формулами, краткие решения служат опорой для фронтальной работы над материалом кадра.

Кадр 42

КОНЕЦ Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Е. АРУТЮНЯН Художник-оформитель И. ИЩЕНКО Редактор В. ЧЕРНИНА Д-256-84 © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1984 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной

Кадр 43

По заказу Министерства просвещения РСФСР МАЛЫЕ ТЕЛА СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ Диафильм по астрономии для 10 класса