Соотношения сторон и углов в треугольнике

Кадр 1

СООТНОШЕНИЯ СТОРОН И УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ Диафильм по геометрии для IX класса

Кадр 2

К треугольнику какого вида применимы эти формулы? c²=a²+b² α+β=90° sinα= a/c cosα= b/c Сколько элементов треугольника нужно знать, чтобы найти все остальные элементы? a b c α β γ 1. 3 4 30° 90° 2. 1 1 30° 90° 3. 2 2 45° 90°

Кадр 3

Будем доказывать соотношения, справедливые не только для прямоугольного, но и для любого треугольника. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ В любом треугольнике ABC a²=b²+c²–2bc cosα. Подумайте, как доказать эту теорему, используя скалярное произведение векторов.

Кадр 4

Докажем теорему косинусов, используя скалярное произведение векторов.

Кадр 5

Проверьте свое доказательство.

Кадр 6

Теорему косинусов можно доказать, используя координаты векторов.

Кадр 7

Проверьте свое доказательство. ДАНО: AB=c, AC=b, BC=a, ∠CAB=α

Кадр 8

Какие из следующих задач можно решить, применяя теорему косинусов?

Кадр 9

ЗАДАЧА. Найти стороны параллелограмма, если известны его диагонали и углы между ними. ДАНО: AC=a, BD=b, ∠AOB=α. Найти AB, BC, CD, DA. Попробуйте решить задачу, используя теорему косинусов.

Кадр 10

А теперь проверьте свое решение. AC=a, BD=b, ∠AOB=α AB, BC, CD, DA – ? Решение. 1. BO=OD=b/2, AO=OC=a/2. 2. AB²=a²/4 + b²/4 - 2·a/2 b cosα. BC²=a²/4 + b²/4 + 2·a/2 b cosα. Ответ: AB=DC=√(a²+b²-2 ab cosα)/2 BC=AD=√(a²+b²+2 ab cosα)/2

Кадр 11

Следствие 1 теоремы косинусов. Если BD—высота в ΔABC, то а²=b²+c²±2b·AD. Докажите следствие 1, используя рисунки. В каком случае в формуле а²=b²+c²±2b·AD надо брать «+», а в каком «—»?

Кадр 12

Зная стороны a, b и c треугольника ABC, найти высоту, опущенную на сторону BC. c² = a² + b² ± 2a · CD Попробуйте решить задачу, используя следствие теоремы косинусов.

Кадр 13

А теперь проверьте свое решение.

Кадр 14

Следствие 2 теоремы косинусов В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. Докажем следствие 2. 1. Сумма квадратов диагоналей— это d₁²+d₂². 2. Сумма квадратов сторон— это … Какие треугольники надо рассмотреть, чтобы закончить доказательство?

Кадр 15

Объясните и закончите доказательство следствия 2.

Кадр 16

Не всегда теорема косинусов позволяет найти неизвестные элементы треугольника по трем данным. Например, она не поможет, если даны сторона и два угла. (Почему?) В этом случае нужна теорема синусов. В любом треугольнике ABC sina/a = sinβ/b = sinγ/c. Для доказательства проведем высоту BD. Как может располагаться точка D на прямой AC?

Кадр 17

Докажем, что sinα a = sinγ c .

Кадр 18

Вот теперь теорема синусов доказана полностью.

Кадр 19

Какие из следующих задач можно решить, применяя теорему синусов?

Кадр 20

Следствие 1 теоремы синусов. Если AD — биссектриса треугольника ABC, то BD/DC = AB/AC. Доказательство. 1. Из ΔABD: sinα₁/BD = sinα₂/AB. 2. Из ΔADC: sinα₁/DC = sin(180° - α₁)/AC. 3. Значит, … Закончите доказательство.

Кадр 21

Объясните каждый шаг в доказательстве следствия 1. 1. Из ΔABD: sinα₁/BD = sinα₂/AB. 2. Из ΔADC: sinα₁/DC = sin (180° - α₂)/AC. 3. Значит, BD sinα₁/AB sinα₂ = DC/AC. 4. Поэтому BD/DC = AB/AC, что и требовалось доказать.

Кадр 22

Следствие 2 теоремы синусов В треугольнике ABC (α>β)⇔(a>b). Докажем, что если α>β, то a>b. Возможны два случая. 1. β<α<90°. Тогда sinβ<sinα. Объясните, почему в этом случае b<a. Какой второй случай надо рассмотреть?

Кадр 23

Тогда 180°–α <90°, а 180°–α <β. (Почему?) Значит, sin (180°–α) > sinβ, sinα > sinβ. Объясните, почему и в этом случае a>b. Для завершения доказательства следствия 2 докажите, что если a>b, то α>β.

Кадр 24

Следствие 3 теоремы синусов в треугольнике ABC a/sinα = b/sinβ = c/sinγ = 2R, где R — радиус описанной окружности. Достаточно доказать, что a/sinα = 2R. (Почему?) Для этого проведем через точку В диаметр описанной окружности BD. Как могут быть расположены точки А и D относительно прямой BC?

Кадр 25

∠A=∠D, ∠BCD=90°. (Почему?) Значит, 2R=—a— sinα (Почему?) Какой второй случай нужно рассмотреть?

Кадр 26

∠D=180°—∠A, ∠DCB=90°. (Почему?) Значит, 2R=a/sinα.(Почему?) Итак, в любом случае a/sinα=2R. Следствие 3 доказано.

Кадр 27

Какие три элемента треугольника достаточно знать, чтобы вычислить все остальные (как говорят, «решить треугольник»)? Перечислите все возможные случаи.

Кадр 28

ЗАДАЧА 1 Дано: a, b, c. Найти α, β, γ. Решение. 1. cosα=… (по теореме косинусов). 2. cosβ=… (по теореме …). 3. γ= 180° - … (по теореме …). В каком случае задача имеет решение? Сколько решений?

Кадр 29

Дано: а, b, α. Найти с, β, γ. В каком случае задача имеет решение? Сколько решений?

Кадр 30

В каком случае задача имеет решение? Сколько решений?

Кадр 31

ЗАДАЧА 4 Дано: a, β, γ. Найти: b, c, α. В каком случае задача имеет решение? Сколько решений?

Кадр 32

ЗАДАЧА 5 Дано: а, α, β. Найти b, c, γ. Чем отличается эта задача от предыдущей?

Кадр 33

К сведению учителя Данный диафильм рассчитан на работу по учебнику А. В. Погорелова. Однако он может почти полностью использоваться и при работе по учебнику Л. С. Атанасяна и др. Доказательство теоремы синусов и основные задачи на решение треугольников изучаются одинаково в обоих названных курсах. Доказательство теоремы косинусов по учебнику А. В. Погорелова проводится с помощью кадров 4–5, а по учебнику Л. С. Атанасяна – с помощью кадров 6–7 (в этом случае кадры 4–5 просто пропускаются). При работе по учебнику Л. С. Атанасяна пропускаются также все кадры, связанные со следствиями теорем синусов и косинусов, поскольку эти следствия изучаются в других частях курса.

Кадр 34

Диафильм создан по программе средней общеобразовательной школы Автор кандидат педагогических наук Е. АРУТЮНЯН Художник-оформитель В. ЕРМОЛАЕВА Редактор В. ЧЕРНИНА Д-023-90 © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1990 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7

Кадр 35

МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ