Теорема Пифагора

Кадр 1

TEOPEMA ПИФАГОРА Диафильм по математике для VII класса

Кадр 2

Отношению каких сторон Δ ABC равен cos ∠B?

Кадр 3

Чему равны косинусы углов А, В, D, E, К и М?

Кадр 4

Длины каких сторон Δ ABC можно найти по этим данным, если ∠C = 90° ? Найдите их.

Кадр 5

В каждом из этих случаев найдите cos α, 2 cosβ, cos² α, cos² α + cos²β.

Кадр 6

Теорема 7. 1. (α=β) ⇒ (cos α = cosβ) Используя теорему 7. 1, найдите отношение ᵇ/с, если углы α и β равны. Теорема, обратная теореме 7. 1, верна для острых углов. Сформулируйте ее.

Кадр 7

Теорема Пифагора (7. 2.) Условие Заключение AC² + BC² = AB² Сформулируйте теорему Пифагора.

Кадр 8

Доказательство теоремы Пифагора мы начнем с того, что выразим разными способами cos∠A и cos∠B. Как это можно сделать, проведя высоту CD в Δ ABC?

Кадр 9

Продолжите доказательство теоремы Пифагора.

Кадр 10

Завершите доказательство теоремы Пифагора.

Кадр 11

Докажите: 1. Катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы. 2. cos α < 1 для любого острого угла α.

Кадр 12

Докажите: I. Наклонная больше перпендикуляра. 2. У равных наклонных проекции равны. 3. Больше та наклонная, у которой больше проекция.

Кадр 13

Стороны Δ MNP (∠P=90°) Заполните таблицу, пользуясь теоремой Пифагора.

Кадр 14

(В Δ ABC ∠C=90°) ⇔ (sin ∠BAC = BC / AB) tg ∠BAC = BC / AC / Любым ли положительным числом может быть синус? А тангенс? Отношениям каких отрезков равны sin ∠B; tg ∠B? Выразите через длины сторон: sinβ, tgβ, sinγ , tg γ .

Кадр 15

Чему равны синусы и тангенсы углов А, В, D, E, К и М?

Кадр 16

Длины каких сторон Δ ABC можно найти по данным таблицы в одно действие? В какой строке таблицы содержится ошибка?

Кадр 17

Чему равны sin α и cos β в каждом из этих случаев?

Кадр 18

В каждом треугольнике найдите sin²α , cos²α , tg²α , 1+tg²α , sin²α + cos²α .

Кадр 19

Теорема. (α=β) ⇔ (sinα = sinβ, tgα = tgβ) Используя эту теорему, найдите отношения ⅈ/b и ⅈ/c, если α = β. Для острых углов верны и обратные теоремы. Сформулируйте их.

Кадр 20

Составьте план заполнения каждой строки таблицы по приведенным данным, считая, что ∠C=90° и что CD—высота Δ ABC, проведенная из вершины С.

Кадр 21

Найдите синусы углов 58°, 58°36′, 58°34′. Найдите косинусы углов 30°, 30°30′, 30°34′.

Кадр 22

Найдите тангенсы углов 43°, 43°36′, 43°34′.

Кадр 23

Основные тригонометрические тождества Условие α — острый угол Заключение sin²α + cos²α = 1 Сформулируйте эту теорему.

Кадр 24

Объясните первый шаг доказательства.

Кадр 25

Условие α — острый угол Доказательство Заключение sin²α + cos²α = 1 Объясните каждый шаг доказательства. Закончите доказательство.

Кадр 26

Сформулируйте эту теорему. Докажите ее, используя ранее доказанное тригонометрическое тождество sin²α + cos²α = 1.

Кадр 27

Проверьте ваше доказательство.

Кадр 28

Заполните таблицу.

Кадр 29

Сформулируйте теорему 7.3. Верно ли, что если α —острый угол, то существуют sin(90°–α) и cos(90°–α)? Ответ обосновать.

Кадр 30

Условие Доказательство Заключение Объясните первый шаг доказательства. Завершите доказательство.

Кадр 31

Проверьте ваше доказательство.

Кадр 32

Синус, косинус и тангенс угла 45°

Кадр 33

Синусы, косинусы и тангенсы углов 30° и 60° Объясните ход рассуждений и вычислений.

Кадр 34

Теорема 7. 4. (α < β) ⇒ (cos α > cos β, sin α < sin β, tg α < tg β). Сформулируйте теорему 7. 4. Для острых углов верны и обратные теоремы. Сформулируйте их.

Кадр 35

Объясните доказательство теоремы 7.4.

Кадр 36

Сформулируйте теорему 7. 5. Докажите теорему 7. 5 для следующих случаев: 1. Все три точки А, В, С совпадают. 2. Две из трех точек А, В, С совпадают. 3. А, В, С—различные точки, лежащие на одной прямой. Какой случай остался рассмотреть?

Кадр 37

Рассмотрим этот последний случай. A, B, C—три точки, не лежащие на одной прямой A, D, B лежат на одной прямой AB <AD+BD или AD <AC, BD <BC AB <AC+BC Собратите внимание: получилось строгое неравенство! Как доказываются в этом случае два других неравенства? Будут ли и они строгими?

Кадр 38

К учителю Диафильм предназначен для изучения материала § 7 учебника А. В. Погорелова «Геометрия 6—10». Кадры 2—6 посвящены разделу «Косинус угла», кадры 7—13— разделу «Теорема Пифагора», кадры 14—20—соотношениям между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике, кадры 21—22—таблицам тригонометрических функций, кадры 23—28—основным тригонометрическим тождествам, кадры 29—33—значениям тригонометрических функций некоторых углов, кадры 34—35—изменению синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла, кадры 36—37—неравенству треугольника. Каждый фрагмент завершается кадром, отмеченным треугольником в правом углу. На красном фоне дается новый материал, на синем—вопросы к учащимся, на желтом фоне—материал для справок.

Кадр 39

КОНЕЦ Диафильм сделан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор кандидат педагогических наук Г. ЛЕВИТАС Художник-оформитель И. ИЩЕНКО Редактор Т. РАЗУМОВА Д-032-86 © Студия «ДИАФИЛЬМ» Госкино СССР, 1986 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7

Кадр 40

ТЕОРЕМА ВИЕТА. Исследование квадратного уравнения. Диафильм по математике для 8–9 классов.