Геометрическое изображение комплексных чисел

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Диафильм по математике для 10 класса

Кадр 2

К СВЕДЕНИЮ УЧИТЕЛЯ Диафильм можно использовать после изучения материала об алгебраической форме комплексных чисел или (кк. 4—14) параллельно с ним. В кк. 15—22 вводится тригонометрическая форма комплексного числа, не равного нулю (нуль тригонометрической формы не имеет, так как у него не определён аргумент). Это облегчает умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел. В кк. 29—37 даётся решение алгебраических уравнений. При этом сознательно не вводится символ √Z. Этот символ оставлен для обозначения арифметического корня. Обратите особое внимание на кк. 34 и 37.

Кадр 3

В кк. 12, 16 и других желательно максимално использовать геометрические пути доказательства. В кк. 23 и 24 нужно обратить внимание на использование ассоциативного и дистрибутивного законов. В диафильме вектор и точка, изображающие число Z, так и обозначаются: вектор Z, точка Z. В кк. 13 и 27 нужно сослаться на определение вычитания и деления как действий, обратных сложению и умножению. Ответы к кадру 35: а) x⁶-(1-8i)x²-8i=0; б) x⁴+(9+i)x²+9i=0.

Кадр 4

Рассмотрим прямоугольную систему координат. Условимся изображать комплексное число α+βi точкой, имеющей координаты (α; β), или вектором, идущим из начала координат к этой точке.

Кадр 5

Какие комплексные числа изображены на чертежах?

Кадр 6

Назовите числа Z₁ и Z₂ . Какие числа изображаются точками, симметричными точкам Z₁ и Z₂ относительно оси абсцисс? Относительно начала координат? Какое число изображается точкой, симметричной Z₁ относительно Z₂?

Кадр 7

Равные комплексные числа изображаются одной и той же точкой (одним и тем же вектором).

Кадр 8

Сопряжённые комплексные числа изображаются точками (векторами), симметричными относительно оси абсцисс. Число, сопряжённое числу z, обозначается z̄.

Кадр 9

Какие из изображённых здесь чисел сопряжённые?

Кадр 10

Сумма комплексных чисел Z₁ и Z₂ изображается суммой векторов Z₁ и Z₂. (Докажите!). По этой причине векторное изображение комплексных чисел особенно наглядно.

Кадр 11

Постройте изображение суммы чисел Z₁ и Z₂.

Кадр 12

Докажите геометрически, что сумма чисел Z и Z равна удвоенной действительной части числа Z.

Кадр 13

Разность комплексных чисел Z₁ и Z₂ изображается разностью векторов Z₁ и Z₂ . (Докажите!). В какой последовательности выполнялись построения на этом чертеже?

Кадр 14

Постройте разность Z₁-Z₂ и разность Z₂-Z₁ .

Кадр 15

Модуль числа a+bi равен длине вектора, изображающего это число (или расстоянию от начала координат до точки, изображающей это число). Где расположены точки, изображающие комплексные числа с данным модулем ?

Кадр 16

Модуль разности двух комплексных чисел—это расстояние между изображающими их точками. Докажите это.

Кадр 17

Аргументом комплексного числа (не равного нулю) называется угол наклона к оси абсцисс вектора, изображающего это число.

Кадр 18

Обозначим аргумент числа α+βi через φ. Тогда cosφ=a/|α+βi|=a/√(α²+β²); sinφ=β/|α+βi|=β/√(α²+β²).

Кадр 19

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2πk (где k — любое целое число), то есть если φ — аргумент числа a+bi, то φ+2πk — аргумент числа a+bi.

Кадр 20

Для того, чтобы два комплексных числа были равны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их модули были равны между собой, а разность их аргументов была равна числу 2πK, где K — целое число.

Кадр 21

Назовите модули и наименьшие неотрицательные аргументы этих чисел.

Кадр 22

Если z — модуль комплексного числа α+bi, а φ — его аргумент, то α=zcosφ, b=zsinφ и, значит, α+bi=z(cosφ+isinφ). Запись комплексного числа α+bi в виде z(cosφ+isinφ) называется тригонометрической формой этого числа.

Кадр 23

Пусть z≠0 и |z₁|=1. Тогда умножение z на z₁ изображается поворотом вектора z на аргумент вектора z₁, то есть [z(cos φ+i sin φ)] [cos ψ₁ + i sin ψ₁] = z[cos(φ+ψ₁)+i sin(φ+ψ₁)]. Докажите это аналитически.

Кадр 24

Поэтому, если z₁=z₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂=z₂(cos φ₂ + i sin φ₂), то z₁z₂=z₁z₂[cos(φ₁ + φ₂) + i sin(φ₁ + φ₂)]. Объясните, как преобразуется в этом случае вектор Z₁ в вектор Z₁Z₂.

Кадр 25

Докажите, что Z=Z₁Z₂ . Как изменится чертёж, если Z₂ — действительное число?

Кадр 26

Умножение Z на положительное число С изображается растяжением вектора Z в С раз. Умножение Z на отрицательное число d изображается растяжением вектора Z в |d| раз и поворотом его на угол П. Объясните эти построения.

Кадр 27

Как изменится модуль и аргумент числа Z₁, при делении его на число z=z(cos φ + i sin φ) ? Объясните построение числа 1/z, где z = z(cos φ + i sin φ).

Кадр 28

Методом математической индукции докажите формулу Муавра: [z(cos φ + i sin φ)]ⁿ = zⁿ(cos n φ + i sin n φ). Возведите число 1+i в 4-ю степень в алгебраической и в тригонометрической форме.

Кадр 29

Решим уравнение x²=α+bi. Если α+bi=0, то x=0. Если α+bi≠0, то его можно записать в тригонометрической форме: α+bi=z₀(cos φ₀+i sin φ₀). Корни уравнения будем искать тоже в тригонометрической форме: x=z(cos φ+i sin φ). Тогда уравнение перепишется так: [z(cos φ+i sin φ)]²=z₀(cos φ₀+i sin φ₀). Чему равны z и φ?

Кадр 30

Чтобы решить уравнение [z(cos φ + i sin φ)]ⁿ = z₀(cos φ₀ + i sin φ₀), применим формулу Муавра: zⁿ(cos n φ + i sin n φ) = z₀(cos φ₀ + i sin φ₀). Отсюда zⁿ = z₀ и n φ = φ₀ + 2πk, или z = ⁿ√z₀ и φ = φ₀ + 2πk. Все корни изображаются векторами одного и того же модуля ⁿ√z. Сколько различных корней уравнения мы получим?

Кадр 31

Рассмотрим какие-нибудь два корня. Их модули одинаковы (они равны √ⁿζ₀). Аргумент одного пусть будет ⌽₀+2πk, а аргумент второго — ⌽₀+2πk₂. Докажите, что эти два корня равны между собой тогда и только тогда, когда разность K₁-K₂ кратна n.

Кадр 32

Поэтому для получения ВСЕХ корней в значении К достаточно взять, например, к=0, 1, 2..., n-1. Значит, уравнение x⁵=r₀(cos φ₀ + i sin φ₀) имеет ровно n корней x=√[n]r₀(cos (φ₀+2πk) + i sin (φ₀+2πk)), где k=0, 1, 2, ..., n-1.

Кадр 33

Докажите, что точки, изображающие все эти корни, являются вершинами правильного многоугольника.

Кадр 34

Докажите, что любое квадратное уравнение с комплексными коэффициентами имеет два комплексных корня (различных или совпадающих).

Кадр 35

Докажите, что корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом — сопряжённые числа.

Кадр 36

Докажите, что уравнение вида x²ⁿ+αxⁿ+β=0, где α и β—любые комплексные числа, имеет 2n комплексных корней (среди них могут быть и совпадающие). Как решается такое уравнение? Напишите уравнения, корни которых изображены на чертежах.

Кадр 37

Можно доказать (однако не элементарными средствами), что ЛЮБОЕ УРАВНЕНИЕ n-й СТЕПЕНИ С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ИМЕЕТ ХОТЯ БЫ ОДИН КОМПЛЕКСНЫЙ КОРЕНЬ. Эта теорема называется ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМОЙ АЛГЕБРЫ. Из неё можно вывести, что у любого уравнения n-й степени с комплексными коэффициентами ровно n комплексных корней (некоторые из них могут совпадать).

Кадр 38

КОНЕЦ Автор Г. ЛЕВИТАС Консультант доктор физико-математических наук В. БОЛТЯНСКИЙ Чертежи и оформление С. РОГОВА Редактор Л. КНИЖНИКОВА Д-243-68 Студия «Диафильм», 1968 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30

Кадр 39