Геометрическая прогрессия

Кадр 1

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, … 17, 17, 17, 17, 17, 17, … 1, -3, -9, -27, 81, -243, 729, … 19, -19, -19, -19, -19, … 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … 3, 3, -3, -3, -3, -3, -3, … Диафильм по математике для 8 класса

Кадр 2

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Кадр 3

Старинная легенда рассказывает, что изобретатель шахматной игры потребовал в награду за первую клетку одно зерно, за вторую — два, за третью — четыре и так далее, каждый раз удваивая их количество. Запишите рекуррентную формулу этой последовательности.

Кадр 4

Сберкасса платит 2% годовых. Укажите рекурентную формулу последовательности сумм, получающихся от вклада в 100 р. в конце каждого года. За первый или за второй год приращение вклада больше? Выберите подходящий график.

Кадр 5

Числовая последовательность, задаваемая рекурентной формулой aₙ₊₁=aₙq, где a₁ и q — некоторые числа, называется геометрической прогрессией и обозначается значком ⁞. Сравните с определением арифметической прогрессии.

Кадр 6

Это тоже геометрические прогрессии.

Кадр 7

⁕: 2½, 0, 0, 0, 0, 0,... a₁=2½ q=0 ⁕: 0, 0, 0, 0, 0, 0, a₁=0 q=1972,5

Кадр 8

Найдите a₁ и q у этих геометрических прогрессий.

Кадр 9

Какие арифметические и какие геометрические прогрессии начинаются такими членами? Где расположены изображения их третьих членов?

Кадр 10

У арифметической и геометрической прогрессий могут совпадать два соседних члена. Найдите члены, следующие за данной парой и предшествующие ей.

Кадр 11

Могут ли у геометрической прогрессии встретиться такие члены? При каких к<k'm это возможно? При каких q это возможно? При ответе используйте графики.

Кадр 12

Исследуйте на монотонность геометрическую прогрессию, если 1) a₁≠0, q>1; 2) a₁≠0, 0<q<1; 3) a₁≠0, q<0. Какому случаю соответствует каждый график? Чему равны a₁ и q для этих графиков?

Кадр 13

Проведите аналогичную работу при 4) q=1; 5) a₁=0; 6) q=0.

Кадр 14

II. ФОРМУЛА n-ГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Кадр 15

Следуя определению геометрической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, мы можем найти, если известен предыдущий. Но как сразу вычислить a₅, зная a₁ и q? a₁=1 q=2 a₅=...

Кадр 16

a₂ = a₁q a₃ = a₂q = a₁q² a₄ = a₃q = a₁q³ a₅ = a₄q = a₁q⁴ ... ... ... aₙ = a₁qⁿ⁻¹ a₁=1, q=2, a₆₄ = 1·2⁶³ = 9 223 372 036 854 775 808

Кадр 17

В формуле aₙ=a₁qⁿ⁻¹ четыре переменных. Зная три из них, можно найти четвёртую. Заполните таблицу.

Кадр 18

Длины этих отрезков—последовательные члены геометрических прогрессий. Определите x, y, z и t. Найдите также обозначенные буквами члены следующих геометрических прогрессий: ÷2, a, 8, … ÷2, b, c, d, 8, …

Кадр 19

Докажите, что а₂=ак-₁ак+₁. Если ак>0, ак-₁>0, ак+₁>0, то ак называют средним геометрическим чисел ак-₁ и ак+₁: ak = √ак-₁ак+₁. Сравните среднее арифметическое x и среднее геометрическое y двух положительных чисел a и b.

Кадр 20

Докажите, что если ak, am и q положительны и m>k, то q=√(am/ak) Найдите q и a1, если a5=1 и a14=512.

Кадр 21

Последовательности a₁, a₂, a₃,.... aₙ;.... b₁, b₂, b₃,.... bₙ;.... a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃,...aₙ, bₙ;.... —геометрические прогрессии. При каких условиях это возможно?

Кадр 22

При каких а₁ и q геометрическая прогрессия ограничена снизу? Какие случаи представлены на графиках? aₙ ≥ M

Кадр 23

При каких a₁ и q геометрическая прогрессия ограничена сверху? Какие случаи представлены на графиках?

Кадр 24

При каких a₁ и q геометрическая прогрессия ограничена (и сверху, и снизу). Какие случаи представлены на графиках?

Кадр 25

III. СУММА ПЕРВЫХ n ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Кадр 26

Пусть {an} — геометрическая прогрессия с знаменателем q ; пусть с — некоторое число. Докажите, что {can} — тоже геометрическая прогрессия. Чему равен её знаменатель?

Кадр 27

Сравните геометрические прогрессии {an} и {qan}.

Кадр 28

Если q≠1, то формулу Sn можно получить так: { Sn = a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an { qSn = a2 + a3 + a4 + … + an + an+1 (q-1)Sn = an+1 - a1 Sn= an+1-a1 = anq - a1 = a1(qn-1) q-1 q-1 q-1 Пример: S5=2 + 6 + 18 + 54 + 162 3S5=6+18+54+162+486 2S5=486-2=484 S5=242 2 6 18 54 162 242

Кадр 29

В этих двух уравнениях пять переменных. Зная три из них, можно найти две остальные. Заполните таблицу.

Кадр 30

Теперь подсчитайте, какое число зёрен запросил изобретатель шахматной игры?

Кадр 31

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К КАДРАМ к. 7 В последнем примере q может быть любым числом. к. 10 к. 11 Нужно учесть, что все чётные члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак и что все нечётные члены — тоже одного знака.

Кадр 32

к. 21 Это возможно, если знаменатели {an} и {bn} равны одному и тому же q > 0 и если bi=±ai√q.

Кадр 33

КОНЕЦ Диафильм сделан по заказу Министерства просвещения РСФСР Автор кандидат педагогических наук Г. Левитас Художник-оформитель М. Колчина Редактор В. Чернина Студия «Диафильм», 1972 г. Москва, 101000, Старосадский пер., д. №7 Д-060-72 Цветной 0-30