Числовые последовательности

Кадр 1

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Кадр 2

f(x)—числовая последовательность ⇔ Область определения f(x)—множество N или несколько первых чисел множества N

Кадр 3

Какие из этих шести функций—числовые последовательности?

Кадр 4

Какие из этих шести численных последовательностей возрастающие? убывающие? постоянные? Ответы обосновать.

Кадр 5

Последовательность можно задать разными способами. Способ задания Пример Перечисление членов 1, 2, 4, 8, 16, 32 Описание b₁=1; b₂=2; каждый следующий член на 1 больше суммы всех предыдущих членов Формула n-го члена bₙ = 2ⁿ⁻¹ Какими из этих трех способов можно задать бесконечную последовательность?

Кадр 6

Задайте перечислением первые три члена каждой из этих последовательностей.

Кадр 7

Задайте описанием или формулой эти последовательности.

Кадр 8

При рекуррентном способе задания последовательности указываются: а) первый или несколько первых членов; б) формула, позволяющая определить любой член через предшествующие. a₁=2, a₂=3, aₙ+₁=aₙ-1 Вычислите a₃ по этим условиям. Придумайте другие примеры.

Кадр 9

Вычислите пятье члены у этих последовательностей, заданныхъ рекуррентнымъ способомъ: a₁=a, aₙ₊₁=f(aₙ)

Кадр 10

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией; d — разность арифметической прогрессии: a₁=a, aₙ₊₁=aₙ+d. Назовите первые пять членов у следующих арифметических прогрессий.

Кадр 11

Какие из данных последовательностей—арифметические прогрессии? Каковы их разности и первые члены?

Кадр 12

Приведите примеры на каждый из трех случаев.

Кадр 13

Теорема. Если (an) — арифметическая прогрессия, то для любого n>1 an=aₙ₋₁+aₙ₊₁ / 2 1) Убедитесь, что это верно для арифметических прогрессий (4; -1; -6; -11; ...), (7; 7; 7; 7; ...), и (2; 5; 8; 11; ...). 2) Вычислите x в следующих арифметических прогрессиях: (7; x; 11; ...), (3; a; x; b; -5; ...). 3) Сформулируйте обратную теорему.

Кадр 14

Теорема. (an)—арифметическая прогрессия тогда и только тогда, когда для любого n>1 an=an-1+an+1 2 Доказательство:

Кадр 15

Любой член арифметической прогрессии можно найти так: a₂ = a₁ + d a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d a₄ = a₃ + d = a₁ + 3d … … … … a₁₀₀ = a₉₉ + d = a₁ + 99d … … … … aₙ = a₁ + (n-1)d Проверьте эту формулу для n=1.

Кадр 16

Арифметическая прогрессия—это линейная функция, заданная на N. Доказательство: aₙ=a₁+(n-1)d=dn+(a₁-d)=kn+b где k=d. b=a₁-d. Найдите a, и d для следующих арифметических прогрессий: aₙ = 1/2n-1 aₙ = -2 aₙ = -n+2

Кадр 17

Уравнение aₙ = a₁ + (n-1)d решите для указанных в таблице случаев. Какая из переменных может принимать только натуральные значения?

Кадр 18

Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс вычислил в уме сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, когда ему было менее 10 лет. 1+2+3+…+50+51+…+98+99+100= =101-50=5050. Объясните этот способ вычисления.

Кадр 19

Теорема. Sₙ = (a₁ + aₙ)/2. Доказательство: a₁ + aₙ = a₁ + aₙ; a₂ + aₙ₋₁ = a₁ + aₙ; a₃ + aₙ₋₂ = a₂ + aₙ₋₁ = a₁ + aₙ; a₄ + aₙ₋₃ = a₃ + aₙ₋₂ = a₁ + aₙ; ... 2Sₙ = (a₁ + aₙ)n ↓ Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 n. 2S₅ = (a₁ + a₅)5 S₅ = (a₁ + a₅)5/2.

Кадр 20

Заполните таблицу

Кадр 21

По преданию, изобретатель шахматной игры потребовал в награду за первую клетку одно зерно, за вторую — два, за третью — четыре и т. д., каждый раз удваивая число зерен. Задайте эту числовую последовательность рекуррентным способом. B₁ = … Bₙ₊₁ = …

Кадр 22

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q, называется геометрической прогрессией; q — знаменатель геометрической прогрессии. b₁=b≠0; q≠0 bₙ₊₁=bₙq Сравните с определением арифметической прогрессии

Кадр 23

Какие арифметические и какие геометрические прогрессии начинаются такими членами?

Кадр 24

В каких случаях геометрическая прогрессия возрастает, в каких убывает, в каких постоянна?

Кадр 25

bₙ₊₁=bₙq, b₁≠0, q≠0 Теорема. Если (bₙ)—геометрическая прогрессия, то для любого n>1 bₙ/bₙ₋₁ = bₙ₊₁/bₙ . Сформулируйте обратную теорему. Сравните со свойством арифметической прогрессии.

Кадр 26

b₁=b≠0; q≠0; bₙ₊₁=bₙ⋅q. Любой член геометрической прогрессии можно найти так: b₂=b₁q b₃=b₂q=b₁q² b₄=b₃q=b₁q³ b₁₀₀=b₉₉q=b₁q⁹⁹ bₙ=b₁qⁿ⁻¹ b₆₄=9 223 372 036 854 775 808

Кадр 27

В формуле bₙ=bqⁿ⁻¹ четыре переменные. Зная три из них, можно найти четвертую.

Кадр 28

Пусть (bₙ)—геометрическая прогрессия со знаменателем q, c≠0. Докажите, что (cbₙ)—тоже геометрическая прогрессия, и найдите ее знаменатель.

Кадр 29

Сравните (bₙ) и (qbₙ).

Кадр 30

Если (bₙ) — геометрическая прогрессия и q=1, то Sₙ = nb₁ Если q≠1, то { Sₙ = b₁ + b₂ + b₃ + … + bₙ₋₁ + bₙ q Sₙ = b₂ + b₃ + b₄ + … + bₙ + bₙq Sₙ(q-1) = bₙq - b₁ Sₙ = (bₙq - b₁) / (q-1) Пример: S₅ = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 3 S₅ = 6 + 18 + 54 + 162 + 486 + 2 S₅ = 486 - 2 = 484 S₅ = 242

Кадр 31

В этой системе уравнений пять переменных. Зная три из них, можно найти две остальные.

Кадр 32

Теперь подсчитайте, сколько зерен запросил изобретатель шахматной игры.

Кадр 33

К СВЕДЕНИЮ УЧИТЕЛЯ Диафильм предназначен для изложения нового материала главы III учебника «Алгебра 8»: кадры 1–4—«Понятие последовательности»; 5–7—«Способы задания последовательностей»; 8–9—«Рекуррентный способ задания последовательности»; 10–14—«Определение арифметической прогрессии»; 15–17—«Формула n-го члена арифметической прогрессии»; 18–20—«Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии»; 21–25—«Определение геометрической прогрессии»; 26–27—«Формула n-го члена геометрической прогрессии»; 28–32—«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии». Треугольник в правом нижнем углу кадров 4, 7, 9, 14, 17, 20, 25, 27, 32 обозначает конец соответствующего фрагмента.

Кадр 34

Кадр 1. С этого кадра можно начать работу над понятием последовательности. Цены на мороженое, количество порций, купленных покупателями, суммы истраченных ими денег—примеры последовательностей. Нижний рисунок подчеркивает, что числовая последовательность—это отображение натурального ряда или его начала в множество действительных чисел. По кадрам 2—3 желательно дать ученикам задание вычислить несколько первых членов каждой последовательности. f(z)= 1/(z-5) задает лишь конечную последовательность с числом членов менее 5, так как пятый член в ней не определен.

Кадр 35

Кадр 7. Последний пример—последовательность номиналов металлических денег в СССР (в копейках). Кадр 8. При объяснении рекуррентного способа желательно отметить, что в данном примере каждый член, начиная с третьего, строится «с оглядкой» на предыдущие члены. Это подчеркивается рисунком. Кадр 10. Координатная плоскость позволяет строить графики арифметических прогрессий, чтобы постепенно привыкнуть к их прямолинейности.

Кадр 36

Кадр 14. В обоих доказательствах многоточие стоит вместо записи 2aₙ=aₙ₋₁ + aₙ₊₁. Желательно, чтобы учащиеся сами додумались до этого несложного преобразования. Впрочем, доказательство необязательно для изучения всеми школьниками. Кадр 25. Следует обратить внимание учащихся на рисунки в кадре. b₂-среднее геометрическое, a₂- среднее арифметическое одних и тех же чисел. Видно, что a₂>b₂.

Кадр 37

Диафильм по математике для 8-го класса сделан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор кандидат педагогических наук Г. ЛЕВИТАС Художник-оформитель Т. МЕДВЕДЕВА Редактор Т. РАЗУМОВА © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1980 г. 101 000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 Д-322-80

Кадр 38

ПО ЗАКАЗУ Министерства просвещения РСФСР