Математическая индукция

Кадр 1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНАУКИЯ

Кадр 2

ДЕДУКЦИЯ И ИНДУКЦИЯ

Кадр 3

1. каждого наземного млекопитающего 4 конечности. 2. у каждой собаки 4 лапы. 3. У нашей Жучки 4 лапы. Утверждение может быть общим по отношению к одному и частным по отношению к другому утверждению.

Кадр 4

Георг Ом открыл свой закон экспериментальным путем. Является такой метод дедуктивным или индуктивным?

Кадр 5

До открытия Австралии европейские натуралисты считали, что бывают только белые лебеди. К индуктивному или к дедуктивному виду относится это рассуждение?

Кадр 6

1. Каждое составное четное число первой сотни равно сумме двух простых чисел: 4=2+2; 6=3+3 … 100=3+97. 2. Если (aₙ)—арифметическая прогрессия с разностью d, то aₙ=a₁ + d(n-1). 3. Сумма величин внутренних углов n-угольника равна 180°(n-2). S₃=180° S₄=360° S₅=720° Какое из этих утверждений может быть доказано индукцией?

Кадр 7

Полная индукция — доказательство общего утверждения перебором всех частных случаев.

Кадр 8

Еще один вариант использования полной индукции—рассмотрение подмножеств данного множества.

Кадр 9

Каким методом проведено доказательство?

Кадр 10

Объясните, как действует полная индукция при этом доказательстве.

Кадр 11

Мы часто пользуемся полной индукцией при решении задач. Задача: Построить график y=x²-|x|-2. Решение: 1. Если x≥O, то y=x²-x-2 2. Если x<O, то y=x²+x-2. Окончательно получаем:

Кадр 12

Шесть косточек домино стоят рядом. Если толкнуть третью косточку, она повалит четвертую, та — пятую, а та — шестую. Толкнули первую косточку. Какие косточки упали? Ответьте на вопрос, применяя полную индукцию.

Кадр 13

Все возможные случаи рассмотрены ниже. Опишите их словесно.

Кадр 14

Рассмотрите ту же задачу с дополнительным условием: вторая косточка при падении обязательно толкнет третью.

Кадр 15

Пусть каждая косточка при падении толкает следующую. Тогда, толкнув первую косточку, мы заставим упасть все. Первая упадет Если упадет к-я, то упадет и (k+1)-я

Кадр 16

В числовой последовательности первое число положительное и за каждым положительным числом следует положительное. 1. Докажите, что третье число положительное. 2. Докажите, что седьмое число положительное. 3. Можно ли доказать, что миллиардное число положительное? 4. Можно ли доказать, что каждое число этой последовательности положительное?

Кадр 17

Рассмотрим утверждение: n прямых, в числе которых нет двух параллельных и трёх пересекающихся в одной точке, делят плоскость на n²+n+2 частей. Это утверждение можно рассматривать как последовательность утверждений: xn= n²+n+2

Кадр 18

Последовательность утверждений принято обозначать A(n). В нашем случае A(1) звучит так: x₁=2. Произнесите утверждение A(2), A(3), A(k).

Кадр 19

Пусть утверждение A(n) таково: „n-я косточка домино упадет”. Назовите A(1), A(k), A(k+1). Известно, что A(1) истинно и что для любого k∈N из A(k) следует A(k+1). Истинно ли A(n) для любого n∈N?

Кадр 20

A(n) истинно для всех n∈N, если: 1. A(1) истинно; 2. для любого k∈N (A(k) истинно)⇒(A(k+1) истинно).

Кадр 21

Утверждение A(n) звучит так: в последовательности (xn) натуральных нечетных чисел xn = 2n-l. Назовите A(1), A(4), A(10). A(k), A(k+1). Проведите доказательство: 1. A(1) истинно, так… 2. (A(k) истинно) ⇒ ⇒(A(k+1) истинно), так как…

Кадр 22

Проверьте ваше доказательство. A(n): xₙ=2n-1 1. x₁=1=2·1-1; A(1) истинно. 2. Пусть xₖ=2k-1; тогда xₖ₊₁=xₖ+2=2(k+1)-1. Для любого k∈N (A(k) истинно) ⇒(A(k+1) истинно). В силу принципа математической индукции, A(n) истинно для любого n∈N.

Кадр 23

Теорема: Сумма первых n нечетных натуральных чисел равна n². Какое равенство здесь можно обозначить через A(n)? Через A(l), A(k), A(k+l)? На рисунке подтверждена истинность A(l), ..., A(5). Как доказать истинность A(6)? Наметьте путь доказательства теоремы в целом.

Кадр 24

Доказательство: A (n): Sn = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n²

Кадр 25

Определение: (an)—арифметическая прогрессия, если an+1=an+d , где d—число, постоянное для данной (an). Теорема: an=a1+d (n-1). Укажите для этой теоремы A(I). A(k). A(n+1).

Кадр 26

Доказательство: A(n): an = a₁ + d(n-1) 1. a₁ = a₁ + d(1-1). A(1) истинно. 2. Пусть ak = a₁ + d(k-1). Тогда ak+1 = ak + d = a₁ + d(k+1-1) (A(k) истинно) ⇒ ⇒ (A(k+1) истинно). В силу принципа математической индукции A(n) истинно.

Кадр 27

Теорема: Если (an)—арифметическая прогрессия, то Sₙ=— 2a₁ + d(n—1) n. S₁=a₁ Sk + aₖ₊₁ = Sₖ₊₁ Проведите доказательство.

Кадр 28

Теорема: Сумма величин внутренних углов n-угольника равна 180° (n-2). A(n): Sₙ=180°(n-2), где n≥3.

Кадр 29

Докажите: Области, на которые делится плоскость п прямыми линиями, можно раскрасить двумя красками так, что смежные области будут разного цвета.

Кадр 30

Попробуйте разобраться в принципе перехода от A(k) к A(k+1) и решить задачу.

Кадр 31

Решение: 1. A(1) истинно. 2. Пусть A(k) истинно. Проведем (k+1)-ю прямую и перекрасим все области с одной стороны от нее. (A(k) истинно)⇒(A(k+1) истинно).

Кадр 32

Докажите: Области, на которые плоскость делится окружностями, можно раскрасить двумя цветами так, что смежные области будут закрашены по-разному.

Кадр 33

Воспользуйтесь при доказательстве этими рисунками.

Кадр 34

Диафильм по математике для 9 класса сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор кандидат педагогических наук Г. Левитас Художник Н. Дунаева Художественный редактор В. Дугин Редактор В. Чернина Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1978 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Д-042-78 Цветной 0-30