Числовые неравенства и их свойства

Кадр 1

ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА

Кадр 2

Что можно сказать о взаимном положении а и b на координатной прямой в каждом из этих пяти случаев? Почему?

Кадр 3

Докажите, что а) любое положительное число больше нуля; б) любое отрицательное число меньше нуля; в) любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Кадр 4

Teopema: 1) (a > b) ⇔ (a–b—положительное число); 2) (a < b) ⇔ (a–b—отрицательное число); 3) (a = b) ⇔ (a–b—нуль). Какому случаю соответствует каждый из рисунков?

Кадр 5

Какие слова пропущены? Из трех высказываний α<b, α=b, α>b всегда одно █, а два другие █.

Кадр 6

Сравните свойства равенств и неравенств. Сделайте выводы.

Кадр 7

Какое из отношений „<“, „>“, „=“, „≤“, „≥“ задано на каждом рисунке? Что можно сказать о числе d в каждом из этих случаев?

Кадр 8

Сравните свойства равенств и неравенств. Сделайте выводы.

Кадр 9

Сравните свойства равенств и неравенств. Сделайте выводы. Приведите примеры.

Кадр 10

Докажите теорему: если a <b, c >0, то ac <bc.

Кадр 11

Закончите доказательство.

Кадр 12

Проверьте ваше доказательство: Дано: (a <b>(a+c <b>+c). Доказать: Как изменится формулировка и доказательство теоремы при c<0?

Кадр 13

Заполните пропуски и попробуйте доказать теорему. Приведите примеры.

Кадр 14

Дано: a < b, а и b одного знака Проверьте ваше доказательство. Доказать: 1/a > 1/b

Кадр 15

y=ax+b—линейная функция; ax+b=0—линейное уравнение; ax+b>0, ax+b<0—линейные неравенства. Объясните решение линейного уравнения и линейных неравенств.

Кадр 16

Расскажите о графическом решении уравнения и неравенства.

Кадр 17

Объясните решение. a < b, ⇒ ac > bc c < 0 (-⅔ < 1,5) ⇔ (x > -3) Ответ: ]-3;+∞[

Кадр 18

Объясните решение.

Кадр 19

Разберитесь в этой схеме. Какой будет схема для решения неравенства вида ax>b; ax≤b?

Кадр 20

Ответ: {x—4<0 2x+2>0 Ответ: ]—1; 4[ Объясните решение системы неравенств.

Кадр 21

Объясните решение систем неравенств.

Кадр 22

Объясните решение систем неравенств.

Кадр 23

Сравните данные неравенства и их решение: а) 2x+2 >0; б) (2x+2) (x-2)>0. Ответ для обоих неравенств: ]-∞;—|I U ] 2;+∞[

Кадр 24

Сравните данные неравенства и их решение:

Кадр 25

В любом случае |AB|=|a-b| Верна ли формула для a=b?

Кадр 26

Объясните решение уравнения и неравенств. |AB|=|a-b| Ответ: {-1;7} ]-1;7[ ]-∞;-1]∪[7;+∞[ ]-1;3[∪]3;7[

Кадр 27

Объясните решение неравенств и уравнения. |AB|=|a-b| Ответы: а) |x+2|=3 {−5;1} б) |x+2|>3 ]−∞;−5[∪]1;+∞[ в) |x+2|≤3 [−5;1] г) 0<|x+2|<3 ]−5;−2[∪]2;1[

Кадр 28

Объясните решение уравнения и неравенств. |AB| = |a-b|

Кадр 29

Теорема: если a < b и c < d, то a+c < b+d. Как можно использовать эту теорему для оценки периметра прямоугольника? a < 4 a > 3 b < 3 b > 2 □ < p < □

Кадр 30

Для справок: ① (a < b) ⇔ (a-b < 0); ② (a < b, b < c) ⇒ (a < c); ③ (a < b, c — любое число) ⇒ (a+c < b+c); ④ (a < b, c > 0) ⇒ (ac < bc). Докажите теорему.

Кадр 31

Закончите доказательство.

Кадр 32

Теорема: если a < b, c < d и a, b, c, d — положительные числа, то ac < bd. Как можно использовать эту теорему для оценки площади прямоугольника? a < 4 b < 3 a > 3 b > 2 □ < S < □ Верна ли эта теорема при b < 0, c < 0?

Кадр 33

Дано: a < b; c < d; a, b, c, d — положительные числа Для справок: ① (a < b) ⇔ (a-b < 0); ② (a < b, b < c) ⇒ (a < c); ③ (a < b, c — любое число) ⇒ (a+c < b+c); ④ (a < b, c > 0) ⇒ (ac < bc), (a > b, c < 0) ⇒ (ac > bc); ⑤ (a < b, c < d) ⇒ (a+c < b+d). Доказать: ac < bd Докажите теорему.

Кадр 34

Закончите доказательство.

Кадр 35

Докажите следствие: (a < b; a, b— положительные числа) → (a² < b²; a, b— положительные числа)

Кадр 36

К сведению учителя. Диафильм предназначен для объяснения материала учебника «Алгебра 7» пп14 (кадры 1—4), 15(5—7), 16(8—14), 17(15—19), 18(20—22), 19(23—24), 20(25—28), 22(29—35). Треугольник в правом нижнем углу кадра обозначает окончание группы кадров, относящихся к тому или иному пункту учебника. Ответы к кадру 7: 1) «<»», d<l; 2) «=»», d=2; 3) «<»», d>2; 4) «>»», l<d<2; 5) «<»», l≤d≤2.

Кадр 37

Работая с кадром 17, следует добиваться от учеников ссылок на теорему, приведенную в рамке. Кадры 23 и 24 служат для понимания равносильности строгих неравенств f(x)/q(x) > 0 и f(x) q(x) > 0 и неравносильности соответствующих нестрогих неравенств.

Кадр 38

Диафильм по математике для 7-го класса сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор кандидат педагогических наук Г. ЛЕВИТАС Художник-оформитель И. ШАТАЛОВА Редактор Г. ВИТУХНОВСКАЯ © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1979 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Д-268-79 Цветной 0-30

Кадр 39

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Кадр 40

По заказу Министерства просвещения РСФСР МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Диафильм по математике для 6–7 классов