Приближенные вычисления

Кадр 1

В. БОЛТАНСКИЙ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ РИСОВАЛ Ю. МАКАРЕНКО МАТЕМАТИКА 7 й КЛАСС

Кадр 2

К СВЕДЕНИЮ УЧИТЕЛЯ Диафильм может быть использован при объяснении нового материала, закреплении и повторении. ПУНКТЫ учебника 21 23 24 25 26 27 28 «Алгебра-7» КАДРЫ 4-7 8-11 12-19 20-23 25-28 29-30 31-36 диафильма Материал кадров 23, 28 не является обязательным, но полезен для усвоения и углубления основного материала. Желательно провести все вычисления в кадрах 10, 11, 26, 27, 30, 32, 33, 34, 35 : это позволит усвоить методы вычислений, оценить их трудоемкость и точность.

Кадр 3

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ и ПОГРЕШНОСТИ

Кадр 4

Весы не позволяют точно определить массу.

Кадр 5

Известно, что 7/5 < √2 < 17/12 , т.е. 1,4 < √2 < 1,41666... Как заменить верхнюю границу числом с двумя знаками после запятой?

Кадр 6

Масса банки заключена между 3 кг и 4 кг. Верно ли, что для массы пяти таких же банок справедливы неравенства: а) 14 < 5m < 19 ; б) 15 < 5m < 20; в) 16 < 5m < 21; г) 14 < 5m < 21.

Кадр 7

Расстояние между городами 70км Скорость автомобиля в течение всего пути была заключена между 55 и 60 км/ч –Сколько времени мыехали?

Кадр 8

Границы суммы или разности находятся сложением неравенств.

Кадр 9

Границы произведения или частного находятся умножением неравенств.

Кадр 10

Вычислите с двумя знаками после запятой верхние и нижние границы выражения x₁ + x₁x₂ - x₁/x₂ 2,31 < x₁ < 2,32 1 1,67 < x₂ < 1,68 3,18 < x₁ < 3,19 2 0,81 < x₂ < 0,82 1,52 < x₁ < 1,53 3 1,43 < x₂ < 1,44 -Давайте поработаем!?

Кадр 11

НАЙДИТЕ ГРАНИЦЫ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ДАНЫ ГРАНИЦЫ ДЛИНЫ РАДИУСА /В МЕТРАХ/: а) 0,38 < R < 0,39 б) 0,711 < R < 0,712 -Используйте неравенство 3,14 < π < 3,15 -Окружность радиуса R имеет длину 2πR

Кадр 12

За ПРИБЛИЖЕННОЕ значение массы m можно принять среднее арифметическое границ: α = 44 + 46 / 2 = 45 Абсолютная погрешность /модуль разности между точным и приближенным значениями/ не превосходит половины расстояния между границами: Δ = |m-α| < 1

Кадр 13

Запись x=a±h означает, что точное значение x измеряемой величины отличается от приближенного значения a не более, чем на h: Δ=|x-a|<h или иначе a-h<x<a+h

Кадр 14

ШТАНГЕНЦИРКУЛЬ позволяет определить диаметр валика лишь ПРИБЛИЖЕННО: 9,6 < d < 9,7 /MM/ a= 9,6+9,7 = 9,65 2 h= 9,7-9,6 = 0,05 2 Δ = |d-9,65| < 0,05 x = 9,65 ± 0,05

Кадр 15

В качестве приблизительного значения для π АРХИМЕД предложил число 3 ⅓. 3 ⅓ — приблизительное значение π с точностью до 0,002 π = 3 ⅓ ± 0,002

Кадр 16

ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ:

Кадр 17

Математик Шенкс вычислил в прошлом столетии 606 знаков десятичного разложения числа π. Недавно/с помощью ЭВМ/ вычислено значительно большее число знаков. Оказалось, что последние полтораста знаков Шенкс вычислил неверно. π = 3,1415926536…

Кадр 18

На практике для вычислений такое число знаков не нужно. При округлении абсолютная погрешность не превосходит половины единицы предыдущего разряда.

Кадр 19

Округлите следующие числа до сотых. Укажите, какое приближение /с недостатком или с избытком/ является лучшим, т.е. имеет меньшую погрешность.

Кадр 20

Пусть α – приближенное значение числа x, с точностью до h /т.е. x=α+Δ, |Δ|≤h/. Число Δ/α называется относительной погрешностью этого приближенного значения. Модуль относительной погрешности не превосходит числа ε=Δ/α|.

Кадр 21

Весы позволяют измерить массу товара с относительной погрешностью до 2%. m₁≈3,2кг; m₂≈6,7кг; m₃≈1,65кг Оцените абсолютную погрешность при каждом взвешивании. Укажите границы, в которых заключена масса каждого предмета.

Кадр 22

Относительную погрешность можно рассматривать как показатель качества измерения. Определите относительные погрешности и сравните качество измерений, выполненных двумя термометрами.

Кадр 23

Число α в том и только в том случае является ПРИБЛИЖЕННЫМ значением χ с относительной точностью до ε, если χ=α(1±ε).

Кадр 24

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Кадр 25

В десятичных приближениях с недостатком и с избытком все цифры верные, т.е. абсолютная погрешность не превосходит единицы последнего разряда.

Кадр 26

Запишите приближения в виде десятичных дробей и округлите, сохраняя в записи только верные цифры:

Кадр 27

В физике, астрономии, технике широко используется запись чисел в стандартном виде. Укажите в каждом случае границу погрешности (все цифры верные).

Кадр 28

Если в десятичной записи ПРИБЛИЖЕННОГО значения все ЦИФРЫ верные, то Модуль ОТНОСИТЕЛЬНОЙ погрешности не превосходит ε = 1 с-10к-1 , где к - число значащих цифр, а с - первая (слева) значащая цифра. -Значащими называются все цифры, начиная с первой (слева), отличной от нуля.

Кадр 29

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ Вычислить X₁ + X₂ - X₃, если X₁ ≈ 2,17; X₂ ≈ 3,3742; X₃ ≈ 4,0152 (все цифры верные).

Кадр 30

ПРИМЕР: найти X₁ + X₂, если X₁ = 2,45; X₂ = 3,177.

Кадр 31

Вычислить X₁⋅X₂:X₃, если X₁≈23,21; X₂≈0,0032; X₃≈2,157. (все цифры верные)

Кадр 32

В промежуточных результатах надо оставлять на одну цифру больше. ПРИМЕР: вычислить X₁X₂ + X₃X₄. если X₁≈0,00031; X₂≈253,27; X₃≈0,0237; X₄≈5,7923. -Округлим до трех значащих цифр… -Округлим до четырех значащих цифр. -Для большей точности сохраним одну лишнюю цифру в промежуточных результатах. 0,00031•253=0,0784 0,0237•5,792≈0,1373 0,0784+0,1373=0,2157 -Окончательный результат округлим. X₁X₂ + X₃X₄≈0,216

Кадр 33

Рассчитайте тот же пример методом границ X₁≈0,00031; X₂≈253,27; X₃≈0,0237; X₄≈5,7923. X₁·X₂ + X₃·X₄ ≈ 0,216 -Можно ли утверждать, что у результата, полученного в предыдущем кадре, все цифры верные? -А можно ли утверждать, что две цифры после запятой - верные? -Какова граница относительной погрешности этого результата? -Смотри кадр №32…

Кадр 34

Укажите, с какой точностью целесообразно вычислить X₂ при вычислении произведения X₁ X₂ (в записи множителя X₁ все цифры верные).

Кадр 35

У выписанных данных все цифры верные. Заполните таблицу, вычисляя практическим приемом приближенные значения недостающих данных.

Кадр 36

-Я - точный метод! -Я - самый простой и удобный на практике! Ошибки мои невелики... ТУРНИР МЕТОДОВ

Кадр 37

Диафильм по математике для 7 класса сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор доктор физико-математических наук В. Болтянский Художественный редактор В. Дугин Редактор Г. Витухновская © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1978 г. 101 000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 Д-348-78