Логическое строение геометрии

Кадр 1

В.Г. БОЛТЯНСКИЙ ЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ Рисовала Ю. МАКАРЕНКО

Кадр 2

АКСИОМЫ И ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ геометрии

Кадр 3

Происхождение геометрических терминов показывает, что понятия геометрии возникли в результате наблюдения за предметами той или иной формы.

Кадр 4

Первые доказательства в геометрии связаны с именем древнегреческого математика Фалеса.

Кадр 5

В книге «Начала», написанной Евклидом, содержится систематическое изложение геометрии: свойств параллелограммов и трапеций, теоремы Пифагора, подобия…

Кадр 6

Евклид попытáлся дать аксиоматическое изложение геометрии в соответствии с идеями, которые высказал создатель логики Аристотель. Рассуждал Евклид примерно так: возьмем некоторую теорему.

Кадр 7

при доказательстве ее испольуются более простые факты,

Кадр 8

а для обоснования этих более простых фактов—еще более простые факты.

Кадр 9

В конце концов получитца список простых фактов (аксиом), из которых можно вывести все теоремы геометрии.

Кадр 10

Сами же аксиомы настолько просты, что не возникает вопроса о необходимости их вывода.

Кадр 11

С понятиями дело обстоит примерно так же: каждое новое понятие вводится (с помощью определения) на основе более простых понятий.

Кадр 12

эти более простые понятия—с помощью еще более простых и т. д. В конце концов мы приходим к небольшому числу первоначальных понятий.

Кадр 13

Евклид не сумел последовательно и до конца провести аксиоматическое построение геометрии. Его список аксиом был неполным. Аксиому, связанную с измерениями, добавил Архимед.

Кадр 14

Ряд аксиом был добавлен в XIX веке, среди них — аксиома Паша.

Кадр 15

Работа по аксиоматизации геометрии была завершена в конце XIX века известным немецким математиком Гильбертом.

Кадр 16

Впоследствии были предложены и другие варианты списка аксиом геометрии. В 1918 году немецкий математик Герман Вейль предложил аксиоматику, основанную на использовании векторов.

Кадр 17

Сейчас аксиоматический метод—основа современной математики. В его развитие большой вклад внесли советские ученые. Академик А. Н. Колмогоров дал аксиоматическое построение теории вероятностей. Ему же принадлежит один из вариантов аксиоматики геометрии.

Кадр 18

СТРУКТУРА ТЕОРЕМЫ

Кадр 19

разъяснительная часть условие заключение

Кадр 20

Для каких четырёхугольников выполнено условие теоремы? Заключение? Имеются ли четырёхугольники, для которых выполнено условие, но не выполнено заключение?

Кадр 21

Для каких из точек С₁, С₂, С₃, С₄, С₅ выполнено условие теоремы? Для каких выполнено заключение? Имеются ли точки, для которых выполнено условие, но не выполнено заключение?

Кадр 22

Необходимое условие. Достаточное условие.

Кадр 23

Сформулируйте каждую теорему, используя слова «необходимо», «достаточно».

Кадр 24

Меняя местами условие и заключение (при той же разъяснительной части), мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной.

Кадр 25

Здесь и исходная теорема, и теорема, обратная ей,—обе справедливы.

Кадр 26

Верна ли обратная теорема? Справедливость обратной теоремы не вытекает из справедливости исходной теоремы.

Кадр 27

Прочтите формулировки, используя слова «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно».

Кадр 28

Для каких четырёхугольников справедливо первое утверждение? Для каких справедливо его отрицание? Второе утверждение? Его отрицание?

Кадр 29

Убедитесь, что следующие утверждения неверны (приведите к каждому контрпример).

Кадр 30

Заменяя условие и заключение их отрицаниями, мы получаем новую теорему, которая называетса противоположной первоначальной.

Кадр 31

Верна ли противоположная теорема? Справедливость противоположной теоремы не вытекает из справедливости исходной теоремы.

Кадр 32

Теорема, противоположная обратной, равносильна исходной теореме.

Кадр 33

Сформулируйте теорему, противоположную обратной. Какую теорему легче доказать?

Кадр 34

Если доказательство теоремы затруднительно, можно попытаться доказать теорему, противоположную обратной.

Кадр 35

Углы, смежные ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 — тупые. Сумма величин этих четырех внешних углов больше 360°. - Но ведь сумма величин всех внешних углов равна 360°. -Теорема: в выпуклом многоугольнике не более трех острых углов… -Допустим, что имеются четыре острых угла: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4. -Противоречие!

Кадр 36

Укажите определение и теоремы.

Кадр 37

Укажите определение и теоремы.

Кадр 38

Диафильм по математике для VI–VIII классов сделан по заказу Министерства просвещения СССР Художественный редактор В. ДУГИН Редактор Г. ВИТУХНОВСКАЯ © Студия «Диафильм» Госкино СССР. 1979 г. 101 000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 А-293-79

Кадр 39