Длины и расстояния

Кадр 1

ДЛИНЫ И РАССТОЯНИЯ

Кадр 2

К сведению учителя Кадры 3—16 относятся к материалу IV класса. Кадры 10—13 (процесс измерения) полезны и в V—VII классах. Кадры 17—24 связаны с материалом V класса; отметим важность кадра 17 (в учебнике определение расстояния не приведено). Кадры 25—34 относятся к VI классу. Наконец, кадры 35—39 предназначены для внеклассной работы (кадры 38—39 содержат ответы к кадру 37). Кадры 15, 19, 21, 23, 34 следует проецировать на доску для работы мелом.

Кадр 3

Из всех линий, соединяющих две точки А и В, отрезок AB имеет наименьшую длину.

Кадр 4

Длина отрезка АВ равна 8 см. Это выражают записью: |AB| = 8 см.

Кадр 5

Если два отрезка конгруэнтны, то их длины равны. Обратно, если отрезки имеют равные длины, то они конгруэнтны. Длины отрезков AB, CD, MN, PQ равны периметрам треугольников 1, 2, 3, 4. Какие отрезки конгруэнтны?

Кадр 6

О каких высказываниях можно, не производя измерений, сказать, что они ложны? Найдите истинное высказывание, применяя циркуль.

Кадр 7

Длина отрезка AB больше 6 см, но меньше 7 см. Число 6—приближённое значение длины отрезка AB с недостатком, число 7—приближённое значение с избытком.

Кадр 8

Найдите длины отрезков с недостатком и с избытком (используйте циркуль). Запишите ответы в виде двойных неравенств.

Кадр 9

Длину отрезка АВ измерили в дециметрах: 5 <|AB|<6 (дм). Остаток МВ меньше 1 дм.

Кадр 10

Длину остатка MB измерили в сантиметрах: 7 <|MB|<8 (см). Получается двойное неравенство: 5 дм 7 см < |AB| < 5 дм 8 см. Его можно записать с помощью десятичных дробей: 5.7 < |AB| < 5.8 (дм).

Кадр 11

Новый остаток NB измерили в миллиметрах: 4 мм < |NB| < 5 мм. Получается двойное неравенство: 5 дм 7 см 4 мм < |AB| < 5 дм 7 см 5 мм. Его можно записать с помощью десятичных дробей: 5,74 < |AB| < 5,75 (дм).

Кадр 12

Для точных измерений применяют специальные инструменты: штангенциркуль, микрометр и другие. 5,742 < |AB| < 5,743

Кадр 13

Найдите с помощью линейки длины следующих отрезков с недостатком и с избытком а) в см, б) в дм. Ответы запишите в виде двойных неравенств.

Кадр 14

Заполните таблицу, пользуясь следующими данными: 5,738 < |AB| < 5,739 2,031 < |CD| < 2,032 1,73 < |MN| < 1,731 7,599 < |PQ| < 7,6

Кадр 15

Чему равна длина каждого отрезка с недостатком и с избытком: а) с точностью до 1; б) с точностью до 0,1? Ответы запишите в виде двойных неравенств.

Кадр 16

Расстоянием между двумя точками называется длина соединяющего их отрезка. |AB|=7 см |CD|=5 см Для измерения расстояния проводить отрезок, соединяющий точки, не обязательно.

Кадр 17

Расстояния можно находить с помощью линейки, измерителя (циркуля), рулетки и других инструментов.

Кадр 18

1.Найдите на прямой m точки, находящиеся на расстоянии 3 от точки А. 2.Найдите на луче l точку, находящуюся на расстоянии 4 от точки В. 3.Найдите на плоскости точки, находящиеся на расстоянии 2 от точки С.

Кадр 19

Измерьте расстояния IOAI, IOBI, IOCI, IOMI, IONI и охарактеризуйте положение точек A,B,C,M,N на прямой l (слева или справа от точки О и на каком от неё расстоянии).

Кадр 20

Эпицентр землетрясения находился на расстоянии 800 км от г. Ташкента и на расстоянии 600 км от г. Фрунзе. Можно ли по этим данным определить положение эпицентра? А если известно, что он находился на территории СССР?

Кадр 21

Проверьте с помощью циркуля, какие из следующих высказываний верны: а) |AB|=2; б) |BC|=6; в) |BD|=4; г) |AD|=3; д) |AM|=7.

Кадр 22

1. Постройте на луче l точки А,В,С, расстояния до которых имеют следующие значения: |OA|= 5. |OB|= 2. |BC|= 4. 2. Найдите на луче l точку, находящуюся от С на расстоянии 3. Сколько решений имеет задача?

Кадр 23

1. Укажите точки, которые удалены от О на расстояние 3. Запишите множество этих точек с помощью фигурных скобок. 2. Какие из следующих высказываний верны: а) |ОК|<|BM|; б) |DM|>|OK|; в) |BD|=|MN|?

Кадр 24

Точка М лежит на прямой AB между точками А и В. Может ли точка К лежать между Р и Q, если: а) |PK|<|PQ|; б) |PK|=|PQ|; в) |PK|>|PQ|?

Кадр 25

Все точки отрезка AB, кроме его концов, лежат между А и В. Точки, не принадлежащие отрезку EN, не лежат между E и N.

Кадр 26

Точка С лежит между А и В. Точка К не лежит между D и E. Точка Р не лежит на прямой MN. Эта точка не лежит между М и N.

Кадр 27

Свойства расстояний: I. Расстояние неотрицательно; при этом |AB|=0, когда А и В совпадают. 2. Расстояния от А до В и от В до А одинаковы. 3. Для любых точек А, В, С справедливо соотношение |AC|<|AB|+|BC|, которое называется неравенством треугольника.

Кадр 28

Если точка В принадлежит отрезку АС, то |АС|=|АВ|+|ВС|. Обратно, если |АС|=|АВ|+|ВС|, то С∈[АВ].

Кадр 29

Если точка В лежит на прямой АС, но не принадлежит отрезку АС, то |АС|<|АВ|+|ВС|. Это же неравенство справедливо, если В не лежит на прямой АС, т.е. точки А,В,С служат вершинами некоторого треугольника.

Кадр 30

|AC|=|AB|+|BC| |AC|<|AB|+|BC| |AC|<|AB|+|BC|

Кадр 31

Две шарнирно скреплённые планки имеют длины 5 дм и 8 дм. Может ли случится, что расстояние между концами планок равно а) 2 м; б) 2 дм?

Кадр 32

Звенья ломаной ABCD имею́т длины |AB|=3 см, |BC|= =5 см, |CD|=11 см. Может ли расстояние между точками А и D быть равным а) 20 см; б) 2 см?

Кадр 33

Могут ли существовать треугольники ABC указанных в таблице видов, если известно, что: а) |AB|=|AC|. б) |AB|>|BC|. в) |AB|+|AC|=|BC|? Если треугольник существует, поставьте в соответствующей клетке таблицы знак+.

Кадр 34

Множество M называется метрическим пространством, если для любых двух его элементов A, B задано расстояние d(A,B), причем оно обладает следующими свойствами: 1. d(A,B) ≥ 0; если d(A,B) = 0, то A = B. 2. d(A,B) = d(B,A). 3. d(A,C) ≤ d(A,B) + d(B,C). Метрические пространства играют важную роль в математике и других науках.

Кадр 35

Плоскость — метрическое пространство. Расстояние d(AB) обозначается символом |AB|.

Кадр 36

Для любых элементов A₁, A₂ … Aₙ метрического пространства справедливо неравенство: d(A₁,Aₙ) ≤ d(A₁,A₂) + d(A₂,A₃) +… …d(Aₙ₋₁,Aₙ). Каков смысл этого неравенства, если рассматриваем метрическим плоскость; б) числовая прямая?

Кадр 37

Для плоскости это неравенство выглядит так: |A₁Aₙ| ≤ |A₁A₂| + |A₂A₃| + … + |Aₙ₋₁Aₙ|. Оно означает, что длина отрезка, соединяющего концы ломаной, не больше длины ломаной.

Кадр 38

Для числовой прямой неравенство выглядит так: |A₁-Aₙ|≤|A₁-A₂|+|A₂-A₃|+...+|Aₙ₋₁-Aₙ| Оно справедливо для любых чисел A₁, A₂,..., Aₙ. Напишите это неравенство для n=3, n=4, n=5.

Кадр 39

КОНЕЦ Диафильм по математике для 4–6 классов сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор доктор физико-математических наук В. Болтянский Художник А. Бурцев Художественный редактор В. Дугин Редактор Г. Витухновская Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1978 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., д. №7 Д-066-78 Цветной 0-30