Внешние и внутренние углы выпуклого многоугольника

Кадр 1

ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ УГЛЫ ВЫПУКЛОГО МНОГОУГОЛЬНИКА

Кадр 2

Знаменитый математик и путешественник Икс с конгои Игреком обследовалы малоизученный уголок Тихого океана.

Кадр 3

Внезапно разыгрался шторм. Яхту, потерявшую управление, разбило о скалы, а путешественников волной вынесло на берег необитаемого острова.

Кадр 4

Когда океан утих, и берегу прибило доски — остатки яхты. Икс и Игрек решилили использовать их для сооружения жилища и изгороди.

Кадр 5

Вскоре домик в виде шалаша и прочная изгородь были готовы. Изгородь выглядела, как настоящая крепость в форме выпуклого шестиугольника.

Кадр 6

– Смотрите, как здорово! – обрадовался Игрек. – Где бы мы ни находились внутри изгороди, нам будет видно друг друга! А всё потому, что многоугольник выпуклый.

Кадр 7

Но долго жить на острове Икс и Игрек не собирались и из остатков досок стали мастерить плот.

Кадр 8

Для измерения отрезков и углов они сделали линейку и (с помощью компаса, который был у Инса) транспортир. Инструменты получились грубые, но пригодные к работе.

Кадр 9

Вечерами Икс учил конгу геометрии. Очень понравилась Игре теорема о сумме внутренних углов треугольника.

Кадр 10

«Значит, в нашем шестиугольнике сумма углов будет равна на 360°“, — подумал юнга и решил это проверить. Внутри изгороди Игрек начертил прямые, параллельные её сторонам, транспортиром измерил углы между ними и сложил результаты.

Кадр 11

Обескураженный, пришёл он к Иксу.—„Я думал, что сумма углов нашего многоугольника равна 360°, а у меня получилось 700°“.—„Тебя подвёл транспортир,—ответил Икс.—Должно получиться 720°“.—„Откуда вы знаете? Разве у вас есть другой транспортир?“

Кадр 12

-Нет. Да и любой транс­портёр не даст абсолют­но точного результата. То, что в нашем много­угольнике сумма углов равна 720°, можно вычис­лить и без транспорти­ра.—Игрек был поражён.

Кадр 13

Инес объяснил: „Возьми любой выпуклый многоугольник с числом сторон n. Одну из его вершин А соедини отрезками – диагоналями – со всеми несоседними вершинами. На сколько треугольников разделится n-угольник?"

Кадр 14

– Получится n–2 треугольника, – сообразил Игрек. – Ведь только две стороны: АВ и АС– не будут иметь своих отдельных треугольников.

Кадр 15

– „Верно, – похвалил Икс. – А сумма внутренних углов каждого треугольника равна 180°. Так чему же равна сумма внутренних углов выпуклого n-угольника?“ – „180° (n–2)“, – догадался Юнга.

Кадр 16

— А так как в нашем многоугольнике 6 сторон, то сумма его углов равна 180° · (6–2) = 720°.

Кадр 17

Весь следующий день Игрек думал об этой теореме, а вечером сказал: „У меня к вам два вопроса. Первый: верна ли теорема о сумме углов многоугольника для невипуклых многоугольников?"

Кадр 18

Простой невыпуклый «Да, — ответил Икс, — но только в том случае, если многоугольник простой, то есть, если его стороны не пересекаются во внутренних точках и в каждой вершине сходятся ровно две стороны.

Кадр 19

—„А какой твой второй вопрос?" —„Вот вы всё время говорите о внутренних углах многоугольника. А бывают внешние углы?" —„Бывают!".

Кадр 20

—Этот угол — внешний?— спросил Игрек.

Кадр 21

– Нет, – ответил Икс. – Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с одним из внутренних углов. Как ты думаешь, сколько внешних углов у выпуклого n-угольника?

Кадр 22

Юнга задумался. – „2п, потому что у каждого внутреннего угла есть два смежных“.

Кадр 23

„Верно. Но когда говорят о сумме внешних углов многоугольника, то считают по одному внешнему углу при каждой вершине“.—„А разве всё равно, какой из двух углов выбирать?“ Ребята! Игрек, наверное, просто устал. Помогите ему разобраться.

Кадр 24

На другой день юнга решил измерить сумму внешних углов своего многоугольника. Не доверяя на этот раз транспорту, он взял компас, сориентировал его и, держа в руках, обошёл изгородь.

Кадр 25

Вернувшись в прежнюю точку, Игрек увидел, что стрелка компаса описала полный круг и снова указывает на прежнее деление шкалы.

Кадр 26

180°·n – [180°(n–2)] = 180°·n – 180°·n + 180°·2 = 360° Тогда он сказал Иксу: „Сумма внешних углов многоугольника равна 360°“.—Икс остался очень доволен успехами юнги и показал ему другое доказательство этой теоремы.

Кадр 27

Между тем строительство плота было завершено. Дондаваншись хорошей погоды, Икс и Игрек погрузили на него своё нехитрое имущество, подняли самодельный парус и пошли к Большой земле.

Кадр 28

— Вот у нашего плота четыре прямых угла,— вдруг произнёс Игрек.— А бывает выпуклый многоугольник с пятью прямыми углами?

Кадр 29

— А ты подсчитай сам: если бы у выпуклого многоугольника было пять внутренних прямых углов, то у него должно было бы быть и пять внешних прямых углов.

Кадр 30

– Ну, конечно! – воскликнул Игрек. – И сумма внешних углов оказалась бы больше 360°, чего не может быть! – После этого он немножко подумал и сказал: – А я знаю, почему в выпуклом многоугольнике не может быть четырех острых углов! Как он рассуждал?

Кадр 31

Икс и Игрек благополучно доплыли до Большой земли и, условившись о новой встрече, разъехались по домам.

Кадр 32

По дороге домой Игрек пытался понять, верна ли теорема о сумме внешних углов для невыпуклого многоугольника. Помогите ему, ребята!

Кадр 33

КОНЕЦ Диафильм по математике для 7 класса сделан по заказу Министерства просвещения РСФСР Автор Г. Левитас Художник Г. Равинская Художественный редактор А. Морозов Редактор Л. Кинишникова Студия „Диафильм“, 1969 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Д-273-69 Цветной О-30