Правильные многогранники

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Диафильм по математике для 10 класса.

Кадр 2

Многогранник называется правильным, если он выпуклый, грани его — правильные и равные между собой многоугольники и все его многогранные углы равны между собой. Правильных многоугольников бесконечно много, а вот правильных многогранников существует только пять.

Кадр 3

Тетраэдр (четырёхгранник). Поверхность S=a² √3 Объём V= ⅕a³ √2 Радиус описанного шара R=⅕a √6 Радиус вписанного шара r=⅕a √6

Кадр 4

Гексаэдр (куб, шестигранник). Поверхность S=6a² Объём V=a³ Радиус описанного шара R=a√3/2 Радиус вписанного шара r=a/2

Кадр 5

Октаэдр (восьмигранник). Поверхность S=2a² √3 Объём V=a³ √2 Радиус описанного шара R=½√2 Радиус вписанного шара r=a√6

Кадр 6

Додекаэдр (двенадцатигранник). Поверхность S=3a² √25+10 √5 Объём V=a³ (15+7√5) Радиус описанного шара R=a (√3+√15) Радиус вписанного шара r=a (50+22 √5)

Кадр 7

Икосаэдр (двадцатигранник). Поверхность S=5a² √3 Объём V= ⁵⁄₁₂ a³ (3+√5) Радиус описанного шара R= ⅈ⁄₂ √2 (5+√5) Радиус вписанного шара r= ⅈ⁄₁₂ (√3+√15)

Кадр 8

В природе куб встречается в виде кристаллов поваренной соли (NaCl).

Кадр 9

Форму октаэдра имеют кристаллы квасцов.

Кадр 10

Решётка хлористого натрия.

Кадр 11

Схема образования решетки хлористого цезия Объёмноцентрированная кубическая решетка хло- ристого цезия (CsCl).

Кадр 12

На следующих кадрах показаны развёртки всех пяти правильных многогранников. По этим развёрткам можно изготовить выкройки для склеивания моделей многогранников.

Кадр 13

Развёртка тетраэдра.

Кадр 14

Развёртка куба.

Кадр 15

Развёртка октаэдра.

Кадр 16

Развёртка додекаэдра.

Кадр 17

Если раскрасить грани додекаэдра так, чтобы любые две смежные грани были различных цветов, то достаточно всего четырёх красок. (Есть только два существенно различных способа распределения четырёх красок по граням додекаэдра).

Кадр 18

Развёртка икосаэдра.

Кадр 19

Покажем изображения правильных многогранников, выполненные способом центрального проектирования. Такую же картину мы бы увидала, если бы удалили одну из граней многогранника и в образовавшуюся дыру расматривали его внутренность.

Кадр 20

Тетраэдр.

Кадр 21

Гексаэдр.

Кадр 22

Октаэдр.

Кадр 23

Додекаэдр.

Кадр 24

Икосаэдр-

Кадр 25

Обобщающая таблица Название многогранника | Форма граней | Число вершин (B) | Число граней (Г) | Число ребер (P) ---|---|---|---|--- Тетраэдр | треугольник | 4 | 4 | 6 Гексаэдр | квадрат | 8 | 6 | 12 Октаэдр | треугольник | 6 | 8 | 12 Додекаэдр | пятиугольник | 20 | 12 | 30 Икосаэдр | треугольник | 12 | 20 | 30 Проверьте справедливость формулы Эйлера: B + Г = P + 2

Кадр 26

Если центры граней одного правильного многогранника служат вершинами другого и если можно вписать первый многогранник так, чтобы его вершины лежали в центрах граней второго, то они составляют пару взаимных многогранников. У взаимных многогранников число вершин одного из них равно числу граней другого — наоборот, а число ребер одно и то же.

Кадр 27

Куб и октаэдр — два взаимных многогранника.

Кадр 28

Октаэдр и куб-два взаимных многогранника.

Кадр 29

Икосаэдр и додекаэдр—два взаимных многогранника.

Кадр 30

Додекаэдр и икосаэдр—два взаимных многогранника.

Кадр 31

Тетраэдр взаимен самому себе.

Кадр 32

Каждый из правильных многогранников можно получить соответствующими сечениями куба плоскостями. Например, октаэдр можно получить как тело, ограниченное плоскостями, проходящими через каждые три вершины куба, лежащие в концах каждой тройки ребер, сходящихся в одной вершине.

Кадр 33

В куб можно вписать правильный тетраэдр так, что вершины тетраэдра будут являться вершинами куба, а рёбра тетраэдра будут служить диагоналями граней куба. (Возможны два различных вписанных в куб тетраэдра).

Кадр 34

Куб можно вложить в додекаэдр. Оказывается, в каждый додекаэдр можно вложить куб пятью способами—так, что на каждой грани додекаэдра окажется по одному ребру каждого куба и в каждой вершине сойдутся по два куба.

Кадр 35

Древние греки, в частности Евклид, считали правильные многогранники «венцом» всей геометрии. Они называли правильные многогранники идеальными геометрическими телами.

Кадр 36

КОНЕЦ Автор И. Вейцман Чертежи и оформление С. Рогова Редактор В. Чернина Д-61-67 Студия «Диафильм», 1967 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30