Графики функций и графическое решение уравнений

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ И ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Диафильм по математике для восьмилетней школы

Кадр 2

I. Функция и способы её задания

Кадр 3

Среди основных понятий математики одним из важнейших является ФУНКЦИЯ. Величина Y называется функцией переменной величины X, если каждому допустимому значению X соответствует определённое значение Y. Следовательно, чтобы задать функцию, необходимо указать, какие значения аргумента (X) считаются допустимыми, и указать правило, по которому для каждого допустимого значения аргумента устанавливается соответствующее значение функции.

Кадр 4

Кривая, выражающая зависимость температуры от времени. Функция может быть задана таблицей или графиком.

Кадр 5

Графическое задание функции можно получить автоматически при помощи различных приборов. На этих рисунках показано, как барограф и термограф чертят графини изменения давления и температуры в зависимости от изменения времени.

Кадр 6

Здесь представлены графики нормального веса и роста детей в возрасте до 7 лет.

Кадр 7

Очень хорошо, когда функция задана формулой (аналитически). Вот примеры аналитического задания функции: S=V₀t При равномерном движении путь равен произведению скорости тела на время его движения. F=m₀a Сила равна произведению массы тела на его ускорение. Обе эти функции могут быть записаны формулой y=Kx.

Кадр 8

S=a/2 t² При равноускоренном движении путь пропорционален квадрату времени. S=3,14R² Площадь круга пропорциональна квадрату его радиуса. Эти функции могут быть записаны формулой y=ax².

Кадр 9

II. Линейная функция и графическое решение линейных систем

Кадр 10

Графиком функции Y=HX служит прямая, проходящая через начало координат („H“–характеризует угол наклона прямой с положительным направлением оси OX и называется угловым коэффициентом).

Кадр 11

Функция у=кх+b называется линейной, её графиком служит прямая, у которой „к“ — угловой коэффициент, а „b“ показывает отрезок, отсекаемый прямой на оси ОY.

Кадр 12

График перевода аршинов в метры y=0,71x (1 аршин ≈0,71 м). На графике показано, что 7 аршинов≈5 м.

Кадр 13

График, выражающий связь между температурой по Цельсию и температурой по Фаренгейту. График, выражающий связь между температурой по Цельсию и температурой по Реомюру.

Кадр 14

График для подсчёта веса (кг) некоторых металлов в зависимости от объёма (дм³).

Кадр 15

Лучевой график для расчёта при резании металла на токарных станках V=¹⁰⁰⁰ d·n Пример: при d=160 мм и V=25 м/мин. число оборотов n≈48 об/мин.

Кадр 16

Перейдём к графическому решению систем уравнений. Для графического решения системы уравнений { a₁x + b₁y = c₁ { a₂x + b₂y = c₂ достаточно построить прямые, выражающие каждое из этих уравнений, тогда координаты точки пересечения прямых дадут искомое решение. В следующих кадрах покажем примеры графического решения систем уравнений первой степени с двумя переменными.

Кадр 17

Графическое решение систем уравнений: {4x+2y=15 {2x-2y=15 {x+2y=6 {2x-y=3

Кадр 18

Графическое решение систем уравнений: {2x—y—7=0 {5x+2y—4=0 {x+2y—5=0 {2x+y—1=0

Кадр 19

Графическое решение систем уравнений: { x—3y=7 3x—y=13 } { 2x—2y=1 4x+2y=−1 }

Кадр 20

Система {2x-2y=3 2y-2x=3 решений не имеет. Система {2y+y-4=0 2y+4x=8 имеет бесконечное множество решений.

Кадр 21

Если уравнению y=3x соответствует множество точек, расположенных на прямой, то неравенству y>3x удовлетворяют все точки заштрихованной полуплоскости.

Кадр 22

Здесь представлены графические решения систем линейных неравенств. { x+2y-4>0 { 2x-y-3 > 0 и { x+y-2>0 { x-y-2>0

Кадр 23

III. Квадратичная функция. Графическое решение квадратных уравнений

Кадр 24

График функции вида y=ax²+bx+c (a≠0) называется квадратной параболой. При c=0, b=0 и a=1 получаем квадратичную функцию y=x², график которой представлен в этом кадре. Пользуясь этим графиком, можно находить приближённые значения квадратов чисел и извлекать квадратные корни.

Кадр 25

На чертеже 1 изображено семейство парабол y=ax² при a=1, a≠1, a=2 и a≠1. На чертеже 2 изображено семейство парабол y=x²+c при c=0, c=2 и c=-2.

Кадр 26

График функции y=a(x-l)² получается параллельным переносом параболы y=ax² вдоль оси OX.

Кадр 27

Функцию y=ax²+bx+c можно преобразовать к следующему виду y=a(x+b/2a)²+c-b²/4a, откуда следует, что координаты вершины параболы O₁(-b/2a; c-b²/4a). Отрезок, который парабола отсекает на оси OY, равен „C“.

Кадр 28

Струя воды, траектория тела, брошенного под острым углом к горизонту (например, артиллерийский снаряд), имеют форму параболы.

Кадр 29

Канат висячего моста, некоторые мостовые фермы имеют параболическую форму.

Кадр 30

Чтобы графически решить квадратное уравнение ax² + bx + c=0, достаточно построить график функции y=ax² + bx+c. Тогда абсциссы точек пересечения параболы с осью ОХ дадут искомые корни уравнения.

Кадр 31

Примеры графического решения уравнений: x² + 0,3x–2,7=0 х² + 4x–1,5=0

Кадр 32

Корни уравнения x²–2x+1=0 x₁=x₂=1 Уравнение x²–2x+3=0 действительных корней не имеет

Кадр 33

Уравнение ax²+bx+c=0 можно решить другим способом. Если привести уравнение к виду x²=−bx/a+c/a, то достаточно построить на одной координатной сетке параболу y=x² и прямую y=−bx/a+c/a, тогда абсциссы точек пересечения параболы и прямой дадут искомые корни квадратного уравнения.

Кадр 34

На этом графике решены уравнения:

Кадр 35

На этом графике решены уравнения: I. x²—x—2=0 x₁=—1 x₂=2 II. 4 x²+4x—15=0 x₁=—2,5 x₂=1,5 III. 2x²+5x—3=0 x₁=—3 x₂=0,5 IV. x²—2x—4=0 x₁≈—1,1 x₂≈3,3

Кадр 36

Графическое решение системы уравнений: {x² + 2y =10 {x² — y =1 {x₁=2 {y₁=3 {x₂=-2 {y₂=-3

Кадр 37

Графическое решение системы уравнений {x² + y = 11 {y + x² = 7 Эту систему аналитически решить трудно.

Кадр 38

IV. Графики степенных функций

Кадр 39

Функция y=k/x выражает обратнопропорциональную зависимость. Графиком функции y=k/x служит гипербола, которая имеет две ветви.

Кадр 40

Семейство гипербол: К=4; К=16; К=24; К=-16.

Кадр 41

На этом чертеже кривые показывают связь между давлением P (кг/см²) и объёмом V (m³) одного килограмма газа. (График закона Бойля-Мариотта PV=const) —для водорода (H₂) при температуре 0° и при температуре 77° —для кислорода (O₂) при температуре 27°

Кадр 42

Графическое решение систем: {xy=6 {x+y=5 } {xy=4 {x-4y=0

Кадр 43

Графики степенных функций: y=x³, y=x², y=x⁴, y=x⁶.

Кадр 44

Графики степенных функций: y=x⁻² (y=¹/x²) y=x⁻⁴ (y=¹/x⁴) y=x⁻¹ (y=¹/x) y=x⁻³ (y=¹/x³)

Кадр 45

Графики степенных функций: y=x², y=√x (y=x¹/₂); y=x³, y=³√x (y=x¹/₃)

Кадр 46

Переменная величина, лежащая в основе понятия функции, была введена замечательным математиком Рене Декартом. «Поворотным пунктом в математике была декартова ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. Благодаря этому в математику вошли ДВИЖЕНИЕ и ДИАЛЕКТИКА…» Ф. Энгельс.

Кадр 47

Конец Автор И. Вейцман Художник-оформитель Г. Рожковский Чертежи Г. Рожковского Редактор В. Чернина Д-340-67 Студия «Диафильм», 1967 г. Москва, Центр. Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30