Решение тригонометрических неравенств

Кадр 1

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Диафильм по математике для 9–10 классов

Кадр 2

Прежде всего нужно научиться безошибочно решать ПРОСТЕЙШИЕ тригонометрические неравенства, которые, в конечном счёте, являются основой при решении всех тригонометрических неравенств. Тригонометрический круг и графики функций служат основой наглядности и широко используются при изучении всей этой темы.

Кадр 3

Решите неравенства: I. sin x>0 (кадр № 4) 2. cos x>0 (кадр № 5) 3. tg x>0 (кадр № 6) 4. ctg x>0 (кадр № 7)

Кадр 4

sin x > 0 0 < x < π Ответ: 2nπ < x < π+2nπ, n=0,±1,±2,...

Кадр 5

COSX>0 -π/2 < x < π/2 Ответ: π/2 + 2nπ < x < π/2 + 2nπ, n=0,±1,±2,...

Кадр 6

tgx>0

Кадр 7

ctg x > 0 0 < x < π/2 Ответ: nπ < x < nπ + π/2 n = 0, ±1, ±2,...

Кадр 8

Решите неравенства: 1. sin x < 0 (кадр № 9) 2. cos x < 0 (кадр № 10) 3. tg x < 0 (кадр № 11)

Кадр 9

sin x < 0 -π < x < 0 Ответ: |-π + 2nπ < x < 2nπ| n = 0, ±1, ±2,... Ответ можно записать и в такой форме: |π + 2kπ < x < 2π + 2kπ| k = 0, ±1, ±2,...

Кадр 10

cos x < 0 π/2 < x < 3π/2 Ответ: π/2 + 2nπ < x < 3π/2 + 2nπ, n=0, ± 1, ± 2....

Кадр 11

tgx<0 π/2 < x < 0 Ответ: π/2 + nπ < x < nπ

Кадр 12

Решите неравенства: I. sinx>½ (кадр № 13) 2. sinx<½ (кадр № 14) 3. cosx>½ (кадр № 15) 4. cosx<½ (кадр № 16)

Кадр 13

sin x > 1/2

Кадр 14

Кадр 15

COSX>1/2 -π/3 <x<π/3 Ответ: -π/3 + 2nπ <x<π/3 + 2nπ n=0,±1,±2,...

Кадр 16

COSX<½ π/3 <x<5π/3 Ответ: π/3 + 2nπ <x< -5π/3 + 2nπ n=0,±1,±2,...

Кадр 17

Решите неравенства: 1. tgx≥1 (кадр № 18) 2. tgx≤1 (кадр № 19)

Кадр 18

tgx≥1 π/4 ≤x<π/2 Ответ: π/4 + nπ ≤ x < π/2 + nπ n=0,±1,±2,...

Кадр 19

tgx≤1 -π/2 < x < π/2 Ответ: π/2 + nπ < x < π/4 + nπ n=±1, ±2, ...

Кадр 20

Решите неравенства: I. sinx>–½ (кадр № 21) 2. sinx<–½ (кадр № 22) 3. cosx>–½ (кадр № 23) 4. cosx<–½ (кадр № 24)

Кадр 21

sin x > - 1/2 -π/6 < x < 5π/6 Ответ: -π/6 + 2nπ < x < 5π/6 + 2nπ, n=0, ±1, ±2,...

Кадр 22

sin x < - 1/2

Кадр 23

COSX>–½ –⅔π+2nπ<x<⅔π+2nπ n=0,±1,±2,…

Кадр 24

COSX < - 1/2

Кадр 25

Решите неравенства: 1. tgx>–1 (кадр № 26) 2. tgx<–1 (кадр № 27)

Кадр 26

tgx>-1 –π/4 < x < π/2 Ответ: π/4 + nπ < x < π/2 + nπ, n=0,±1,±2,...

Кадр 27

tgx<-1 –π/2 < x < –π/4 Ответ: –π/2 +nπ < x < –π/4 +nπ n=0,±1,±2,...

Кадр 28

Решение некоторых более сложных неравенств: 1. sin2x>0 (кадр № 29) 2. sin(x+1)>0 (кадр № 30) 3. sin(2x-1)>0 (кадр № 31) 4. sinx+cosx>1 (кадр № 32) 5. |sinx| > √3/2 (кадр № 33) 6. cos²x < 3/4 (кадр № 34) 7. log₂sinx<-1 (кадр № 35)

Кадр 29

sin2x>0 0<2x<π 2nπ<2x<π+2nπ Ответ: nπ<x<π/2+nπ n=0,±1,±2,...

Кадр 30

Кадр 31

sin(2x-1)>0 0<2x-1<π 2nπ<2x-1<π+2nπ 2nπ+1<2x<π+2nπ+1 Ответ: nπ+¹⁄₂<x<π⁄₂ + nπ+¹⁄₂ n=0,±1,±2,...

Кадр 32

sin x + cos x > 1 sin x + cos x = √2 sin(x+π/4); √2 sin(x+π/4) > 1; sin(x+π/4) > √2/2; π/4 < x + π/4 < 3π/4 π/4 + 2nπ < x + π/4 < 3π/4 + 2nπ Ответ: 2nπ < x < π/2 + 2nπ n=0,±1,±2,...

Кадр 33

Неравенство |sinx|>√3/2 равносильно совокупности двух неравенств: sinx>√3/2 U sinx<-√3/2 sinx>√3/2 π/3+2πk<x<2π/3+2πk (1) sinx<-√3/2 -2π/3+2πk<x<-π/3+2πk (2) k=0,±1,±2,... m=0,±1,±2,... Совокупность двойных неравенств (1) и (2) можно объединить. Ответ: π/3+nπ < x < 2π/3+nπ n=0,±1,±2,...

Кадр 34

cos²x<3/4: |cosx|≤√3/2 — это неравенство равносильно двойному неравенству -√3/2<cosx<√3/2, а последнее равносильно системе неравенств: {cosx>−√3/2 cosx<√3/2

Кадр 35

log₂ sinx < -1; sinx < 2⁻¹ sinx < 1/2 Ответ: π/6 + 2nπ < x < 5π/6 + 2nπ и x ≠ nπ, n=0,±1,±2,...

Кадр 36

КОНЕЦ Диафильм сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор И. Вейцман Художник-оформитель Г. Рожковский Редактор В. Чернина Студия «Диафильм», 1973 г. Москва, 101 000, Старосадский пер., д. № 7 Д-031-73 Цветной 0-30