Свойства четырехугольников

Кадр 1

СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ Диафильм по математике для VII класса

Кадр 2

Четырехугольником называется фигура, состоящая из: 1) четырех точек (никакие три из них не лежат на одной прямой) и 2) четырех последовательно соединяющих их отрезков (непересекающихся). На каких рисунках изображены четырехугольники?

Кадр 3

А и В — соседние вершины: А и В — концы сторон. А и С — противолежащие вершины: они — не соседние. АС — диагональ: соединяет противолежащие вершины. ВА и ВС — соседние стороны: исходят из одной вершины. ВА и CD — противолежащие стороны: не имеют общего конца.

Кадр 4

Найдите в четырёхугольнике KMPO пары: а) соседних вершин; б) противолежащих вершин; в) соседних сторон; г) противолежащих сторон. Назовите его диагонали.

Кадр 5

Определение параллелограмма (ABCD–параллелограммом) ⇔ (1) ABCD–четырехугольник и 2) AB || CD и 3) BC||(AD) 1. Покажите, что четырехугольник, все углы которого прямые, является параллелограммом. 2. Чему равна сумма углов параллелограмма, противолежащих одной стороне?

Кадр 6

Теорема. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 7

Условие: ABCD—четырехугольник AC и BD пересекаются в точке О; AO=OC и BO=OD Заключение: ABCD—параллелограмм 1. Какие условия должны выполняться, чтобы четырехугольник был параллелограммом? 2. Какие выводы из условия теоремы можно сделать о треугольниках AOD и COB?

Кадр 8

Условие: ABCD—четырехугольник; AC и BD пересекаются в точке О; AO=OC и BO=OD △AOD=△COB BC || AD AB || CD ABCD—параллелограмм Какой вывод можно сделать об углах OBC и ODA?

Кадр 9

Условие: ABCD—четырехугольник; AC и BD пересекаются в точке О; AO=OC и BO=OD △AOD=△COB ∠OBC=∠ODA BC || AD AB || CD Заключение: ABCD—параллелограмм Докажите, что AB || CD. Проведите полное доказательство теоремы по чертежу и записям.

Кадр 10

Первое свойство параллелограмма Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 11

Какой фигурой является четырёхугольник ABC₁D? Каково взаимное расположение сторон параллелограмма ABCD?

Кадр 12

Условие: Пусть BO=OD и AO=OC₁ ABCD—параллелограмм BC || AD ABC₁D—параллелограмм Заключение: AC и BD пересекаются в точке О; AO=OC; BO=OD Каково взаимное расположение сторон параллелограмма ABC₁D?

Кадр 13

Пусть BO=OD и AO=OC₁ ABCD—параллелограмм ABC₁D—параллелограмм BC₁ || AD BC || AD С и С₁ совпадают Заключение: AC и BD пересекаются в точке О: AO=OC: BO=OD Объясните, почему точки С и С₁ совпадают. Почему из этого следует заключение теоремы? Проведите полное доказательство теоремы.

Кадр 14

Второе свойство параллелограмма Теорема. У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 15

Условие: ABCD—параллелограмм Заключение: AB=CD и BC=AD ∠A=∠C и ∠B=∠D Какие выводы можно сделать о диагоналях четырёхугольника ABCD?

Кадр 16

Условие: ABCD—параллелограмм Заключение: ∠A=∠C и ∠B=∠D AB=CD и BC=AD Какие выводы можно сделать о треугольниках AOB и COD; треугольниках AOD и COB?

Кадр 17

Условие: ABCD—параллелограмм ΔAOB=ΔCOD и ΔAOD=ΔCOB Заключение: ∠A=∠C и ∠B=∠D AB=CD и BC=AD Докажите, что из равенства треугольников AOB и COD, AOD и COB вытекает заключение теоремы.

Кадр 18

Условие: ABCD–параллелограмм ΔAOB=ΔCOD и ΔAOD=ΔCOB Заключение: ∠A=∠C и ∠B=∠D AB=CD и BC=AD ΔABD=ΔCDB и ΔABC=ΔCDA Проведите полное доказательство теоремы. Найдите периметр параллелограмма, если две его стороны равны 3 и 5 см. Один из углов параллелограмма равен 30°. Каковы остальные?

Кадр 19

Определение прямоугольника (ABCD—прямоугольник) ⇔ (1) ABCD—параллелограмм и 2) ∠A=∠B=∠C=∠D=90°) Докажите: 1) параллелограмм, имеющий хотя бы один прямой угол, является прямоугольником; 2) четырехугольник, все углы которого прямые, является прямоугольником.

Кадр 20

Свойство прямоугольника Теорема. Диагонали прямоугольника равны. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 21

Условие: ABCD—прямоугольник Какие выводы можно сделать о сторонах и углах прямоугольника? Из равенства каких треугольников может следовать заключение теоремы?

Кадр 22

Докажите равенство треугольников ABD и BAC. Проведите полное доказательство теоремы. Как проверить, имеет ли параллелограмм прямой угол, используя только линейку?

Кадр 23

Определение ромба (ABCD—ромб) ⇔ (1) ABCD—параллелограмм и 2) AB=BC=CD=DA) Докажите, что параллелограмм, две соседние стороны которого равны, является ромбом. Одна из диагоналей ромба равна его стороне. Чему равны углы ромба?

Кадр 24

Теорема. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 25

Условие: ABCD — ромб Заключение: AC ⊥ BD; AC и BD — биссектрисы углов Какие выводы можно сделать о сторонах и углах данного четырёхугольника? Какие условия должны выполняться, чтобы луч служил биссектрисой угла?

Кадр 26

Условие: ABCD — ромб BO = OD AB = AD ∠ABO = ∠CBO, ∠BCO = ∠DCO ∠ADO = ∠CDO Заключение: AC ⊥ BD; AC и BD — биссектрисы углов Чем служит отрезок AO в треугольнике ABD?

Кадр 27

Условие: ABCD — ромб BO = OD AB = AD AO — медиана ΔABD AO ⊥ BD ∠BAO = ∠DAO ∠ABO = ∠CBO, ∠BCO = ∠DCO, ∠ADO = ∠CDO Заключение: AC ⊥ BD; AC и BD — биссектрисы углов Проведите полное доказательство теоремы.

Кадр 28

Определение квадрата (ABCD—квадрат) ⇔ (1) ABCD—прямоугольник и 2) AB=BC=CD=AD) Докажите, что ромб, имеющий прямой угол, является квадратом. Докажите, что параллелограмм, две соседние стороны которого равны и перпендикулярны, является квадратом. Перечислите все известные вам свойства квадрата: его признаки.

Кадр 29

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Кадр 30

Условие: Пусть CE || A₁A₂A₃ A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃ A₁A₂ = A₂A₃ A₂ между A₁ и A₃ B₂ между B₁ и B₃ B₁B₂ = B₂B₃ Заключение: Из равенства каких треугольников может следовать равенство B₁B₂ = B₂B₃? Сравните длины отрезков A₁A₂ и CB₂; A₂A₃ и B₂E; CB₂ и B₂E.

Кадр 31

Условие: Пусть CE || A₁A₂A₃. Заключение: Проведите полное доказательство теоремы.

Кадр 32

Определение средней линии треугольника (ΔABC, M и O—середины сторон) ⇔ (отрезок MO—средняя линия треугольника) Сколько средних линий можно построить в треугольнике? Докажите, что если M—середина стороны AB, MO || AC, то отрезок MO—средняя линия треугольника ABC.

Кадр 33

Свойство средней линии треугольника Теорема. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 34

Сравните длины отрезков BH и CH. Каково взаимное положение MO и MH; MO и AC?

Кадр 35

Условие: Пусть MH || AC МО – средняя линия. Пусть OK || AB. BH = CH. MO лежит на MH. Заключение: MO || AC MO = 1/2 AC. Определите вид четырёхугольника AMOK. Сравните длины отрезков AK и KC; MO и AK; MO и AC.

Кадр 36

Условие: Пусть MH || AC BH = CH MO лежит на MH AMOK=параллелограмм AK = CK Заключение: MO || AC MO = 1/2 AC Проведите полное доказательство теоремы.

Кадр 37

Определение трапеции (ABCD–трапеция) ⇔ (1) ABCD–четырехугольник, 2) AB || CD–основания, 3) AD≠BC–боковые стороны) (Трапеция равнобокая) ⇔ (Боковые стороны равны) Какой четырехугольник отсекает от треугольника его средняя линия? Какой четырехугольник отсекает от равнобедренного треугольника его средняя линия, соединяющая боковые стороны?

Кадр 38

Определение средней линии трапеции (Отрезок MK — средняя линия трапеции) ⟷ (M и K — середины боковых сторон) Сколько средних линий можно провести в трапеции? Докажите, что если точка M — середина боковой стороны AB трапеции ABCD и MK || AD, то отрезок MK — средняя линия трапеции.

Кадр 39

Свойство средней линии трапеции Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 40

Сравните длины отрезков KC и KD. Каково взаимное расположение BC и AD?

Кадр 41

Условие: MK — средняя линия. Проведем BO. KC = KD BC || AD Заключение: MK || AD и MK = 1/2(AD + BC) Сравните углы BCK и KDO; BKC и DKO. Сравните треугольники KCB и KDO.

Кадр 42

Условие: МК — средняя линия. Проведем ВО. KC=KD BC || AD ∠BCK = ∠KDO ∠BKC = ∠DKO ΔKCB = ΔKDO Заключение: MK || AD и MK = 1/2 (AD+BC) Докажите, что МК — средняя линия треугольника ABO. Что из этого следует?

Кадр 43

Условие: MK – средняя линия. Проведем BO. KC = KD BC || AD ∠ BCK = ∠ KDO ∠ BKC = ∠ DKO Δ KCB = Δ KDO KB = KO BC = DO MK – средняя линия Δ ABO Заключение: MK || AD и MK = 1/2 (AD + BC) Проведите полное доказательство теоремы.

Кадр 44

К сведению учителя Диафильм состоит из четырех фрагментов: 1. Четырехугольники. Параллелограмм. 2. Прямоугольник. Ромб. Квадрат. 3. Теорема Фалеса. 4. Трапеция. Конец каждого фрагмента отмечен знаком. Формулировки определений даны в расчлененном виде: выделен термин и видовые признаки. Соединяющая их двойная стрелка заменяет слово «называется». По окончании доказательства теоремы можно предложить учащимся решить задачи на ее применение: Кадр 9. Докажите, что концы двух диаметров окружности служат вершинами параллелограмма. Кадр 13. Докажите, что диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.

Кадр 45

Кадр 27. Как проверить, является ли параллелограмм ромбом, если имеется только транспортир? Кадр 36. 1) В треугольнике провели все средние линии. Сравните периметры получившегося и данного треугольников. 2) В треугольнике провели две средние линии. Определите вид получившегося при этом четырехугольника. Кадр 43. 1) На какие четырехугольники делит трапецию средняя линия? 2) Одно из оснований трапеции равно 5 м, другое — в 3 раза больше. Найдите длину средней линии.

Кадр 46

КОНЕЦ Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Ю. Глазков Художник-оформитель Т. Гурина Редактор В. Чернина © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1986 г. 103 062, Москва, Старосадский пер., 7 Д-019-86 Цветной 0-30

Кадр 47

По заказу Министерства просвещения РСФСР ОБЩИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ Диафильм по химии для старших классов

Кадр 48

СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Диафильм по геометрии для VI класса

Кадр 49

Властибості твердих тіл (Діафільм для ІХ класу середньої школи)