Площади

Кадр 1

Диафильм по геометрии для VIII класса

Кадр 2

Плоским многоугольником (многоугольной областью) называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником. Какие из данных фигур являются плоскими многоугольниками? Прямая а пересекает сторону плоского треугольника KMP в точке О. Сколько общих точек имеют этот треугольник и прямая а?

Кадр 3

СВОЙСТВА ПЛОЩАДИ: 1. Каждая многоугольная область имеет площадь. 2. Равные области имеют равные площади. 3. Если область разбита на две части, то ее площадь равна сумме площадей частей. Известно, что стороны одного треугольника равны 3, 4 и 5 см, а второго — 50, 30 и 40 мм. Равны ли площади этих треугольников? Верно ли, что области, имеющие равные площади, равны? Докажите, что площадь области, разбитой на три части, равна сумме площадей частей.

Кадр 4

Единица измерения площади — квадрат со стороной, равной единице длины. Если длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами, то его площадь равна произведению сторон. Какова площадь каждого прямоугольника?

Кадр 5

Покажем, что формула площади прямоугольника (S=ab) верна для любых положительных чисел a и b. Пусть a и b — конечные десятичные дроби и число знаков справа от запятой не больше n. Разделим каждую сторону квадрата на 10^n равных отрезков. Какова длина каждого такого отрезка? Какова площадь каждого получившегося квадрата?

Кадр 6

Разделим стороны прямоугольника на отрезки длиною 1 10 n ед. a : 1 10 n = a · 10 n — целые числа b : 1 10 n = b · 10 n Всего в прямоугольнике a · 10 n · b · 10 n = ab · 10 2n малых квадратов, а в единичном квадрате 10 2n малых квадратов. Значит, S пр = ab (ед²).

Кадр 7

Пусть хотя бы одна из сторон прямоугольника выражается бесконечной десятичной дробью. Тогда a₁≤a≤a₂ , b₁≤b≤b₂, где a₁, b₁, a₂, b₂ — приближенные значения a и b с недостатком и с избытком. Увеличивая значения n, можно подсчитать значение S с любой заданной точностью. Поэтому считают S=ab.

Кадр 8

Вычислите площади прямоугольников.

Кадр 9

Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на прямую, содержащую противолежащую сторону, называется высотой параллелограмма. BH и CK – высоты Докажите, что высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне, параллельны и равны. Докажите, что четырёхугольник BCKH – прямоугольник. Докажите, что RT и OE – высоты параллелограмма MNOP, если РТЕО – прямоугольник.

Кадр 10

ТЕОРЕМА. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 11

Дано: ABCD — параллелограм, BH — высота. Доказать: S(ABCD)=BC·BH. Доказательство. Пусть ∠ A острый, CE⊥BC. ... Из каких двух многоугольников можно составить трапецию ABCE?

Кадр 12

Дано: ABCD — параллелограмм, BH — высота. Доказать: S(ABCD)=BC⋅BH. Доказательство. Пусть ∠ A острый, CE⊥BC. S(ABCD)+S(DCE)=S(BCEH)+S(ABH). … Объясните, как получено равенство. Какие свойства площадей при этом использовались? Докажите, что S(ABH)=S(DCE).

Кадр 13

Дано: ABCD — параллелограмм, BH — высота. Доказать: S (ABCD)=BC·BH. Доказательство. Пусть ∠ A острый, CE⊥BC. S(ABCD)+S(DCE)= =S(BCEH)+S(ABH). S(ABCD)=S(BCEH). ... Объясните, как получено последнее равенство.

Кадр 14

Дано: ABCD — параллелограмм, BH — высота. Доказать: S(ABCD) = BC · BH. Доказательство. Пусть ∠A острый, CE⊥BC. S(ABCD)+S(DCE)=S(BCEH)+S(ABH). S(ABCD)=S(BCEH). S(ABCD)=BC · BH. Какая известная вам формула использована для получения последнего равенства? Проведите полное доказательство по чертежу и записям кадра.

Кадр 15

Четырехугольники ABCD и ADFE — параллелограммы. Докажите, что площади четырехугольников ABCO и DOEF равны.

Кадр 16

ТЕОРЕМА. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 17

Дано: Δ ABC, BH — высота. Доказательство: S(ABC) = ½ AC·BH. Доказательство. Достроим Δ ABC до параллелограмма. Докажите, что Δ ABC = Δ ОСВ. Какой вывод можно сделать о площадях Δ ABC и Δ ОСВ?

Кадр 18

Дано: Δ ABC, BH—высота. Доказано: S(ABC)=½ AC·BH. Доказательство. Достроим Δ ABC до параллелограмма. Δ ABC=Δ OCB. S(ABC)=S(OCB). S(ABOC)=2S(ABC). S(ABC)=½ AC·BH. Объясните, как получены два последние равенства. Проведите полное доказательство теоремы по чертежу и записям кадра.

Кадр 19

Четырехугольник ABCD – трапеция. Докажите, что площади треугольников ABO и COD равны.

Кадр 20

СЕ⊥AD, СЕ — высота трапеции ABCD. На́йдите высоты трапеций KZMN и OHRF. Докажите, что все высоты трапеции равны между собой. Докажите, что длина высоты трапеции равна расстоянию между параллельными сторонами.

Кадр 21

ТЕОРЕМА. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 22

Дано: ABCD – трапеция, BE – высота. Доказать: S(ABCD)=½(AD+BC)·BE. Доказательство. Проведем диагональ BD. S(ABCD)=S(ABD)+S(BCD). … На основе какого свойства площади получено равенство? Как вычислить площади Δ ABD и Δ BCD?

Кадр 23

Дано: ABCD — трапеция, BE — высота. Доказать: S(ABCD)=½(AD+BC)·BE. Доказательство. Проведем диагональ BD. S(ABCD)=S(ABD)+S(BCD). S(ABD)=½ AD·BE. S(BCD)=½ BC·BE. S(ABCD)=½ (AD+BC)·BE. Объясните, как получены два последних равенства. Проведите полное доказательство теоремы, используя чертеж и записи кадра.

Кадр 24

Четырехугольник ABFD – трапеция, BC=EF. Докажите, что площади четырехугольников ABCO и DOEF равны.

Кадр 25

Δ ABC ∼ Δ KMP, KM:AB=k. Каковы соотношения между углами треугольников, их сторонами? Докажите, что преобразание подобия переводит высоту данного треугольника в высоту подобного ему треугольника. Докажите, что S(KMP):S(ABC)=k².

Кадр 26

Плоская фигура называется простой, если она может быть разбита на конечное число треугольников. Докажите, что любой выпуклый многоугольник является простой фигурой. Является ли простой фигурой полоса—часть плоскости, заключенная между двумя параллельными прямыми?

Кадр 27

ТЕОРЕМА. Площади подобных простых фигур относятсяся как квадраты коэффициентов подобия. Выделите условие и заключение теоремы.

Кадр 28

Какие выводы можно сделать о простых фигурах F и F₁? их соответственных линейных размерах?

Кадр 29

Дано: F и F₁—простые фигуры; F≈F₁; k—коэффициент подобия. Доказать: S(F₁):S(F)=k². Доказательство. Разобьем фигуру F на треугольники Δ₁, Δ₂, ..., Δₙ. Преобразование подобия переводит F в F₁, Δ₁ в Δ₁', Δ₂ в Δ₂', ..., Δₙ в Δₙ'. Какой вывод можно сделать о площади фигуры F; фигуры F₁? Чему равны отношения S(Δ₁'):S(Δ₁), S(Δ₂'):S(Δ₂), ..., S(Δₙ'):S(Δₙ)?

Кадр 30

Объясните равенства. Проведите полное доказательство теоремы по чертежу и записям кадра.

Кадр 31

Основания трапеции равны 4 м и 8 м. Каково отношение площадей треугольников ODA и OBC?

Кадр 32

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии не больше данного от заданной точки (центра круга). Окружность — граница круга. Какие из данных точек принадлежат кругу? Точки X и Y принадлежат кругу радиуса 5 см. Может ли расстояние между X и Y быть равным 2 см; 60 мм; 1 дм; 12 см?

Кадр 33

Докажите, что площадь выпуклого многоугольника, описанного около круга, вычисляется по формуле S=pr/2, где p — периметр, r — радиус круга.

Кадр 34

ТЕОРЕМА. Площадь круга вычисляется по формуле S=½lR², где l — длина окружности, R — радиус. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Впишем в круг радиуса R и опишем около него правильные n-угольники M₁ и M₂. Выразите площади этих многоугольников через их периметры (p₁) и (p₂) и радиусы (r и R) вписанных в них кругов. Сравните площадь круга с площадями многоугольников M₁ и M₂.

Кадр 35

Выразите сторону многоугольника M₁ через сторону вписанного многоугольника и cosα, где α = 180° / n. Выразите p₂ через p₁; r через R.

Кадр 36

Дано: круг радиуса R. Доказать: S=½R²=πR². Доказательство. S(M₁)=½p₁r, S(M₂)=½p₂R. S(M₁) < S < S(M₂). 2AB = 2AC; p₂ = p₁; r = Rcosα. ½p₁R cosα < S < ½p₁R ⅓cosα. При достаточно больших п p₁, сколь угодно мало отличается от l, α от 0°; cosα от 1. Поэтому левая и правая части последнего неравенства сколь угодно мало отличаются от ½R². Значит, S=½R²=πR².

Кадр 37

Вычислите площадь закрашенной части круга, если радиус круга равен 2.

Кадр 38

Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла. На сколько секторов разбивают круг два радиуса? Четыре радиуса? Круг разделен на два равных сектора. Каков угол между ограничивающими их радиусами?

Кадр 39

Какую часть площади круга составляет площадь сектора с центральным углом 60°; β градусов? Докажите, что площадь сектора с углом α вычисляется по формуле S=πR²α/360°.

Кадр 40

Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости. На сколько сегментов делит круг хорда? Круг разделен на два равных сегмента. Чем служит хорда, ограничивающая эти сегменты?

Кадр 41

Вычислите площадь красного сегмента; желтого сегмента. Как вычислить площадь сегмента, дуга которого соответствует центральному углу в 60 градусов?

Кадр 42

КОНЕЦ Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Ю. Глазков Художник-оформитель Н. Дунаева Редактор В. Чернина © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1985 г. 103 062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30