Использование гомотетии для решения задач и доказательства теорем

Кадр 1

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГОМОТЕТИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ

Кадр 2

f — отношение между точками плоскости, при котором 1) точке С соответствует точка С; 2) каждой точке X≠C соответствует точка Y такая, что СY=-2CX. Укажите образы точек М, С, В. Укажите точки, которые переходят в точки Р, С, А.

Кадр 3

Найдутся ли точки: 1) не имеющие образа; 2) имеющие более одного образа; 3) не являющиеся образом какой-либо точки? Является ли f отображением плоскости на себя?

Кадр 4

Укажите: 1) H₀¹(A); 2) H₀¹(B); 3) H₀¹(M). Укажите точки, образы которых при этой гомотетии—точки B, P, O.

Кадр 5

H₂(A)=0. Найдите значение l. Укажите: H₂(O); H₂(E). H₂(T)=M. Найдите значение n. Укажите: H₂(M); H₂(E).

Кадр 6

Каково взаимное расположение точек С, А и Нk(А), если k>0? Если k<0?

Кадр 7

Укажите центр гомотетии, отображающей точку X на Y, если 1) k=-1; 2) k=1; 3) k=2; 4) k=-0,5. H₁(Y)=X. Укажите точку, в которую переходит точка X при отображении, обратном данной гомотетии.

Кадр 8

Теорема. Отображение, обратное гомотетии с коэффициентом k, есть гомотетия с тем же центром и коэффициентом 1/k. Сформулируйте условие теоремы, ее заключение. Определите вид отображения, обратного Hₒ, H₀,⁵.

Кадр 9

Дано: F — отображение, обратное H₀. Доказать: F=H₀⁻¹. Пусть H₀(X₁) = X₁. Укажите F(X₁). Выразите OX₁, через OX; OX через OX₁.

Кадр 10

Дано: F — отображение, обратное Hᵦ. Доказать: F=Hᵦ. Пусть Hᵦ(X)=X₁. Тогда F(X₁) = X и OX₁=kOX. Отсюда OX=¹⁄ₖOX₁,... Какое отображение задается равенством OX=¹⁄ₖOX₁?

Кадр 11

Проведите полное доказательство теоремы по этим записям и чертежу.

Кадр 12

Какие фигуры удовлетворяют условию теоремы? Ее заключению? Верно ли, что∆ABC~∆KMP? ∆KMP=H₀(∆ABC)?

Кадр 13

Рассмотрим произвольные точки X и Y фигуры F. Пусть H₀(X)=X₁, H₀(Y)=Y₁. Принадлежат ли X₁ и Y₁ фигуре F₁? Выразите OX, через OX; OY, через OY.

Кадр 14

Дано: H₀(F)=F₁. Доказано: F~F₁. Пусть X∈F, Y∈F, H₀(X)=X₁, H₀(Y)=Y₁. Тогда X₁∈F₁, Y∈F₁, OX₁=kOX и OY₁=kOY... Выразите X₁,Y₁ через OX₁, и OY₁; через XY.

Кадр 15

Дано: H₀(F)=F₁. Доказать: F~F₁. Пусть X∈F, Y∈F₁, H₀(X)=X₁, H₀(Y)=Y₁. Тогда X₁∈F₁, Y₁∈F₁, OX₁=kOX и OY₁=kOY. Отсюда X₁Y₁=OY₁-OX₁=k(OY-OX)=kXY... Какое равенство связывает |X₁Y₁| и |XY|? Можно ли на основе этого равенства утверждать, что F~F₁?

Кадр 16

Проведите полное доказательство по этим записям и чертежу.

Кадр 17

Можно доказать: при гомотетии каждый луч переходит в луч. H₀ ([XY]) =[X₁Y₁]. Сравните направления [XY] и [X₁Y₁], если 1) k>0; 2) k<0.

Кадр 18

В какую фигуру переходит при гомотетии а) прямая; б) отрезок; в) угол? Как расположены прямая и ее образ; отрезок и его образ? Сравните величины угла и его образа; отрезка и его образа.

Кадр 19

Какие точки удовлетворяют условию теоремы? Что говорит о них теорема?

Кадр 20

Какие объекты и величины достаточно указать для задания гомотетии? Из какого равенства можно получить значение |k|?

Кадр 21

По определению гомотетии OX₁=kOX. Значит, |k| однозначно определяется частным |OX₁|/|OX|. Определите знак коэффициента k, если 1) X₁∈[OX); 2) X₁∈[OX].

Кадр 22

Задача. Дано: точки A, B, 0; C=H₀¹(A). Построить: D=H₀¹(B). Каково взаимное расположение точек 0, A, C? Точек 0, B, D? В какую фигуру перейдет [AB] при заданной гомотетии?

Кадр 23

Дано: точки А, В, 0; C=H⅛(A). Построить: D=H⅛(B). Закончите и объясните решение задачи.

Кадр 24

Отрезки AB и CD называются пропорциональными отрезкам A,B, и C,D₁, если пропорциональны их длины: |AB|/|CD| = |A,B|/|C,D₁|. Каким отрезкам пропорциональны [XY] и [OM]?

Кадр 25

[OP] и [OT] пропорциональны [OC] и [OE]. Что из этого следует? Вычислите lOCI, если lOP|=3,5 м, lOT|=90 см, lOE|=1,2 м.

Кадр 26

Теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки. Какой чертеж соответствует условию теоремы? На каком из чертежей [OA] и [OC] пропорциональны [OE] и [OB]?

Кадр 27

Пусть H₀(A)=C. Укажите образы прямой OB, прямой AB, точки B.

Кадр 28

Какие равенства связывают |OC| и |OA|; |OM| и |OB|? Можно ли из этих равенств сделать вывод, что |OC|:|OA|=|OM|:|OB|?

Кадр 29

Проведите полное доказательство теоремы по этим записям и чертежу.

Кадр 30

△A₁B₁C₁=H₀(△ABC); △A₂B₂C₂=Sₚ(△ABC); △A₃B₃C₃=a(△A₁B₁C₂); △A₄B₄C₄=R⁹⁰(△A₁B₁C₁). Какие фигуры а) конгруэнтны; б) гомотетичны; в) подобны? Найдите коэффициенты гомотетии и подобия.

Кадр 31

Можно доказать: 1) композиция гомотетии и перемещения есть преобразование подобия; 2) каждое преобразование подобия есть композиция гомотетии и перемещения.

Кадр 32

Теорема. Если три стороны ΔABC пропорциональны трем сторонам ΔA₂B₂C₂, то ΔABC~ΔA₂B₂C₂. Стороны ΔXYZ равны 3 см, 6 см и 5 см; ΔX₁Y₁Z₁—6 м, 12 м и 11 м; ΔX₂Y₂Z₂—15 дм, 30 дм и 25 дм. Какие треугольники удовлетворяют условию теоремы? Что говорит о них теорема?

Кадр 33

Пусть ΔABC=H₀(ΔABC). Какие равенства связывают |A₁B₁| и |AB|; |B₁C₁| и |BC|; |C₁A₁| и |CA|? Подобны ли треугольники ABC и A₂B₂C₂?

Кадр 34

Дано: |A₁B₁| = |B₂C₂| = |C₂A₂| = k. Доказать: ΔABC~ΔA₁B₁C₁. Пусть ΔA₁B₁C₁=H₀(ΔABC). Тогда ΔABC~ΔA₁B₁C₁, |A₁B₁|=k|AB|, |B₁C₁|=k|BC|, |C₁A₁|=k|CA|... Сравните стороны ΔA₁B₁C₁ и ΔA₂B₂C₂. Верно ли, что ΔA₁B₁C₁=ΔA₂B₂C₂; ΔA₁B₁C₁~ΔA₂B₂C₂?

Кадр 35

Из каких утверждений следует, что ΔABC~ΔA₁B₁C₁?

Кадр 36

Проведите полное доказательство теоремы, используя эти записи и чертежи.

Кадр 37

Можно доказать: (Â₁=Â и B₁=B)⇒(∆ABC∼∆A₁B₁C₁). Можно доказать: (|A₂B₂|:|AB|=|B₂C₂|:|BC|, B₂=B)⇒(∆ABC∼∆A₂B₂C₂).

Кадр 38

На основе каких теорем можно вычислить длину пруда и высоту дерева? Какие расстояния для этого нужно измерить?

Кадр 39

Задача. Постройте прямоугольник, если отношение длин его смежных сторон равно 2:1, а длина диагонали равна |XY|. Какие прямоугольники удовлетворяют первому требованию задачи? Второму? Первому и второму?

Кадр 40

Первое требование задачи позволяет построить прямоугольник, подобный искомому. Второе — конгруэнтный искомому. Построим образ прямоугольника ABKM при гомотетии с центром А так, чтобы |AK₁|=|XY|. Объясните построение. Докажите, что прямоугольник AB₁K₁M₁ искомый.

Кадр 41

Задача. Вписать в ΔАВС квадрат так, чтобы две вершины лежали на [АС], а две другие — на [АВ] и [ВС]. Какие четырёхугольники удовлетворяют задаче?

Кадр 42

Построим квадрат КЕОР, три вершины которого лежат на сторонах треугольника. Построим образ квадрата при гомотетии с центром А так, чтобы 0₁∈[BC]. Объясните построение. Докажите, что полученный четырёхугольник искомый.

Кадр 43

К сведению учителя Диафильм содержит 6 фрагментов, соответствующих пунктам 62–66, 82 учебного пособия «Геометрия 6–8» 1979 г., и предназначен для объяснения нового материала. Конец каждого фрагмента отмечен знаком ▲ в правом нижнем углу кадра. При работе с кадрами 2, 4–8 учитель может задать вопросы, аналогичные приведенным в кадрах. Особое внимание следует уделить чтению учащимися символических записей, формированию правильной математической речи. Для работы с каждой доказываемой теоремой или задачей отводится несколько кадров. Первый содержит формулировку, следующие — доказательство или вопросы, помогающие понять его.

Кадр 44

Работая с формулировкой теоремы, учащиеся выделяют ее условие и заключение, устанавливают следствия из условия. При рассмотрении очередного кадра результаты этой работы сопоставляются с текстом доказательства, приведенном в этом кадре. Работая с доказательством, учащиеся должны сформулировать пропущенные предложения и привести обоснования.

Кадр 45

Диафильм по математике для 7–8 классов Сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор Ю. ГЛАЗКОВ Художник-оформитель И. ШАТАЛОВА Редактор Г. ВИТУХНОВСКАЯ © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1979 г. 101 000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 Д-331-79 TO2301

Кадр 46

ГЛИНА И ЕЁ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ