Сечение многогранников плоскостью

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР сечение МНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ Диафильм по стереометрии для 10 класса Производство студии „Диафильм“, 1963 г.

Кадр 2

1. ПОНЯТИЕ О СЕЧЕНИИ

Кадр 3

Плоская фигура, которая получитса в результате пересечения секущей плоскости с телом предмета, называется сечением.

Кадр 4

Границей сечения является линия пересечения поверхности тела с секущей плоскостью.

Кадр 5

Какой из изображённых здесь треугольников является сечением куба плоскостью?

Кадр 6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СЕЧЕНИЕ, ОСНОВАННОЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СВОЙСТВ ПЛОСКОСТИ

Кадр 7

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ: Точки – A, B, C… ≡ – принадлежит Прямые – a, B, C… X – пересекает Плоскости – α, β, γ ∴ – следовательно

Кадр 8

ТЕОРЕМА. Если две плоскости имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки.

Кадр 9

A,B ⊂ α ∴ a ⊂ α A,B ⊂ β ∴ a ⊂ β A,B ⊂ α и β ∴ a – линия пересечения α и β

Кадр 10

Можно ли в кубе провести сечение через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины?

Кадр 11

А, В и С не лежат на одной прямой. Следовательно, через них можно провести плоскость и притом только одну.

Кадр 12

1. Какие грани имеют с плоскостью сечения по две общие точки? 2. По каким линиям плоскость сечения, определённая точками А, В₁ и С, пересечёт эти грани? Обосновать.

Кадр 13

Плоскость сечения пересечёт грани AA₁B₁B, ABCD и BB₁C₁C по прямым AB₁, AC и BC на основании теоремы о пересечении двух плоскостей, имеющих две общие точки.

Кадр 14

В сечении получился равносторонний треугольник. Доказать.

Кадр 15

Обосновать возможность проведения сечений через AD и B, C₁ через Z N и E через FT₁ и K,T, Задача № 1 Задача № 2 Задача № 3

Кадр 16

1. Какие грани имеют с плоскостью сечения по крайней мере две общие точки? 2. По каким линиям плоскость сечения пересечёт эти грани? Почему?

Кадр 17

Какие фигуры получились в сечениях?

Кадр 18

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СЕЧЕНИЕ, ОСНОВАННОЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРЕМЫ:

Кадр 19

Если плоскость (α) проходит через прямую (a), параллельную другой плоскости (β), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (β) параллельна первой прямой (a).

Кадр 20

Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде провести сечение через сторону основания (DC) и точку (M), взятую на противоположном боковом ребре (BS).

Кадр 21

1. Какая грань имеет с плоскостью сечения по крайней мере две общие точки? 2. По какой прямой плоскость сечения пересечёт эту грань? Обосновать.

Кадр 22

1. Пересечёт ли плоскость сечения грани ASB и ASD? Обосновать. 2. По какой линии плоскость сечения, определённая ребром CD и точкой M, пересечёт грани ASB и ASD? Обосновать.

Кадр 23

Каково взаимное расположение ребра DC и грани ABS?

Кадр 24

DC || AB, как противоположные стороны квадрата. DC || ASB по признаку параллельности прямой и плоскости.

Кадр 25

По какой линии плоскость сечения пересечёт грань ASB ? Обосновать.

Кадр 26

Плоскость сечения проходит через прямую DC, параллельную грани ASB, и пересекает её. Следовательно, линия пересечения параллельна DC.

Кадр 27

По какой линии плоскость сечения пересечёт грань A S D? Обосновать.

Кадр 28

Какая фигура получилась в сечении? Обосновать.

Кадр 29

Можно ли в правильной четырёхугольной пирамиде провести сечение через середины рёбер AB, DC и точку E на грани BSC?

Кадр 30

Какие грани пересечёт плоскость сечения, определённая точками M, N, E? Обосновать.

Кадр 31

По какой линии плоскость сечения, определенная точками M, N и E, пересечёт грань ABCD? Обосновать.

Кадр 32

По какой линии плоскость сечения, определенная точками M,N и E, пересечёт грань BSC? Обосновать.

Кадр 33

По каким линиям плоскость сечения пересечёт грани DSC и ASB? Обосновать.

Кадр 34

Какая фигура получилась в сечении? Обосновать.

Кадр 35

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СЕЧЕНИЕ, ОСНОВАННОЕ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРЕМЫ:

Кадр 36

Если две параллельные плоскости (α и β) пересекаются третьей плоскостью (γ), то линии пересечения (α и β) параллельны.

Кадр 37

Можно ли в кубе провести сечение через сторону AD нижнего основания и точку Е на верхнем основании?

Кадр 38

Какие грани пересечёт плоскость сечения, определённая ребром AD и точкой E, и почему?

Кадр 39

Каково взаимное расположение граней ABCD и A₁B₁C₁D₁? Обосновать.

Кадр 40

По какой линии плоскость сечения, определённая ребром АD и точкой Е, пересечёт грань A₁B₁C₁D₁? Обосновать.

Кадр 41

MN || AD, так как две параллельные плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ пересектся плоскостью сечения по параллельным прямым.

Кадр 42

По каким линиям плоскость сечения, определенная ребром AD и точкой E, пересечёт грани AA₁B₁B и DD₁C₁C? Обосновать.

Кадр 43

Какая фигура получилась в сечении? Обосновать.

Кадр 44

MN – средняя линия Δ ABC. E – точка на грани ASB. По какой линии плоскость сечения, проведённая через MN и точку E, пересечёт грань ASB? Обосновать.

Кадр 45

MN — средняя линия ΔАВС. Е — точка на грани А₁В₁С₁. По какой линии плоскость сечения, проведённая через MN и точку Е, пересечёт грань А₁В₁С₁? Обосновать.

Кадр 46

КОНЕЦ Автор Т. Д. Кабзон Консультант кандидат педагогических наук А. И. Фетисов Художник-оформитель Ж. А. Оглы Редактор Л. Б. Книжникова Д-111-63 Студия „Диафильм“ Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30