Рассказы о математике

Кадр 1

ДЛЯ VII КЛАССА. Рассказы о математике.

Кадр 2

В этот вечер настроение у Оли было скверное. В школе ей задали преобразовывать буквенные выражения, а она никак не могла понять, зачем это нужно. И решила Оля пойти к Соседу, Который Знал Всё.

Кадр 3

«Ну зачем нужны человеку эти буквенные выражения?» — «А что, по-твоему, человеку нужно?» — спросил Сосед. «Из математики? Уметь считать». — «Свойства буквенных выражений как раз помогают в этом. Вот сколько будет 45+11? Только быстро, быстрее микрокалькулятора!»

Кадр 4

«Так быстро я не умею».—«А я тебе помогу: напишем 45, а в середину вставим сумму цифр — 9. Видишь, как быстро!»—«Ой! И это всегда так? А почему?»—«Вот здесь-то и нужны свойства выражений».

Кадр 5

«Возьмем двухзначное число, в котором а десятков и в единиц».—«Тогда его равно 10а + в»,—вставила Оля. «Верно. Умножим его на 11, то есть на сумму 10 + 1. Вот и выходит, что в произведении а сотен, в единиц и а + в десятков».

Кадр 6

«Как интересно! —сказала Оля.— Расскажите еще что-нибудь».—«Пожалуйста. Как умножить 62 на 68? Только быстрее микрокалькулятора!»

Кадр 7

Смотри! Беру 6 и умножаю на следующее число, на 7… — «Будет 42». — «А теперь приписываю к числу 42 произведение 2·8. Вот и ответ». — «И опять доказывается с помощью выражений?» — «А как же еще!»

Кадр 8

«Тут все дело в том, что у чисел 62 и 68 десятков поровну (по 6), а 2+8=10. Возьмем два таких числа: в каждом а десятков, в первом 6 единиц, во втором с единиц, и в+с=10. Перемножим их. Получилось, что произведение состоит из а(а+1) сотен и вс единиц».

Кадр 9

С тех пор Оля, как только хотела пожаловаться на матитику, приходила к Соседу, Который Знал Всё. Однажды ей поручили сделать доклад о пропорциях.

Кадр 10

«Что такое пропорция — я, конечно, знаю. Но что про них можно рассказать интересного?» — «Пропорции — это чрезвычайно интересно. И рассказывать о них можно много, так что садись поудобнее и слушай».

Кадр 11

«Пропорциональные величины попадаются на каждом шагу. Вот, например, эти два арбуза. За маленький я заплатил ровно 1 рубль. Как ты думаешь, сколько стоит большой?»

Кадр 12

«Ну, он раза в два побольше»,— сказала Оля. «А что это значит?»—«Его диаметр в два раза больше».—«И ты можешь это обосноватьъ?»

Кадр 13

Оля взяла сантиметр и измерила «талии» арбузов. «Я же говорила! Тут 45 см, а тут 90. Значит, большой стоит примерно 2 рубля».

Кадр 14

«Насчет двух рублей–подожди. А вот раз экваторы относятся как 2:1, то и диаметры относятся как 2:1 — это верно. Диаметры и длины экваторов пропорциональны!»

Кадр 15

«Я и говорю, — обрадовалась Оля. — Если маленький стоит рубль, значит, большой — рубля два». — «А вот это как раз не так. Разве стоимость арбуза тоже пропорциональна диаметру? Как продавец определяет стоимость? Сантиметром?»

Кадр 16

«Нет, продавец измеряет массу на весах». — «Правильно. Цена пропорциональна не диаметру, а массе. Неужели же этот арбуз только вдвое тяжелее того? Ну-ка взвесь!»

Кадр 17

Оказалось, что маленький арбуз весит 1,5 кг, а большой — целых 12. «Это ж в 8 раз больше! Что же он, 8 рублей стоит?» — «Именно так, — ответил Сосед.— А не видишь ли ты тут связи: диаметр большого арбуза в 2 раза больше, а масса его в 8 раз больше?»

Кадр 18

Оля задумалась: «8—это 2³. Вот если бы арбузы имели форму кубов, а не шаров, я могла бы доказать, что объемы их относятся как 1:8».

Кадр 19

«Это можно доказать и для шаров. Со временем ты это узнаешь. А пока запомни: стоимость, масса, объем — пропорциональные величины. А значит, и массы относятся как 1:8, и стоимости тоже».

Кадр 20

Свой арбуза. Сосед разрезал пополам и от каждого отрезал по кружку одинаковой толщины. Большой кружок он дал Оле. Она ела арбуз и думала: «Интересно, во сколько раз мой кусок больше?»

Кадр 21

На следующий день был страшный ливень, и Оля сильно промокла, пока дошла до соседнего подъезда.

Кадр 22

«Вообще-то я хотела спросить Вас про параболу,—сказала она, отряхиваясь.—Но сейчас расскажите мне лучше что-нибудь про дождь».

Кадр 23

«А хочешь—и про параболу, и про дождь сразу? Вот скажи, где надежнее прятаться от дождя: под параболой или внутри нее?»

Кадр 24

«Конечно, под параболой! Она же сверху вся открыта!» — «Ты торопишься! Вспомни: парабола продолжается бесконечно, поэтому в нее упрется всякая прямая, которая пересекает ось ординат выше нуля.

Кадр 25

Значит, если ты будешь внутри параболы, тебя зальет, только если дождь будет падать строго вертикально, что бывает очень редко».

Кадр 26

«А под параболой?»—спросила Оля. И тут же догадалась: «Сюда дойдут все струи дождя, если только они падают под меньшим углом, чем этот. Так что тут прятаться и впрямь не так безопасно!»

Кадр 27

«Расскажите мне еще что-нибудь про параболу», — попросила просохшая Оля. «С удовольствием! Скажи: как ты строишь параболу?» — «По точкам. Чем больше точек, тем точнее». — «Тогда построй параболу на этом листе.

Кадр 28

Сколько раз просил: считай быстрее калькулятора»,—поторопил ее Сосед. «Ну да! Я сейчас 17 в квадрат возвожу»,—«А зачем? Строй параболу лесенкой: 1—1, 1—3, 1—5, 1—7 и так далее: вправо — 1, вверх — очередное нечетное число».—«А почему так можно?»

Кадр 29

«А посмотри сама»,— и Сосед показал такую таблицу.

Кадр 30

«В общем виде это выглядит так».—«Ну и что?»—спросила Оля. «Как что? Ведь (n+1)² - n² = 2n + 1». — «А как это доказать?»»

Кадр 31

«Очень просто: (n+1)(n+1) = n² + n + n + 1 = n² + 2n + 1, и если вычесть n², то останется 2n + 1 — очередное нечетное число. А разве вы еще не проходили формулу (a + b)²?» — «Нет». — «Когда начнете — сразу приходи ко мне».

Кадр 32

Как только в школе дошли до формул сокращенного умножения, Оля сразу прибежала к Соседу, Который Знал Всё. «Начали!»—сказала она. «Так чему равно (a+b)²?»—«a²+2ab+b²»,—четко отбарабанила Оля. «А чему равно 11?» Оля задумалась.

Кадр 33

«Во-первых, могла бы и вспомнить, как умножают на 11, — сказал Сосед. — Но интереснее другое. Можно подсчитать устно, без всяких записей». — «Понятно», — сказала Оля. «Понятно? Тогда быстро найди 12² и 21²».

Кадр 34

«12²—это… 144! А 21²—наоборот, 441»,— «Молодец! Ну, а вот это: 13² и 31²?»

Кадр 35

«13² = 169, а 31² = 961».—«Верно. Ну и еще: чему равно 35²? Быстрее микрокалькулятора!»

Кадр 36

«35²,—сказала Оля,—это (30+5)², то есть…»—«Да, быстро ро не получается. А ты вспомни: 43·47=2021, 35²=35·35=1225»—«Верно! А 75²=5625, а 95²=9025, а 105²=11025, а 115²…»—«Ну ладно, ладно, молодец».

Кадр 37

«Довольно некрасивая формула»,—сказала Оля.

Кадр 38

«Довольно некрасивая формула»,—сказала Оля.

Кадр 39

«Подожди. Найди теперь (a + в)⁴.

Кадр 40

Теперь посмотри, что получается. Когда мы возводим (а + в) в какую-нибудь степень, то получаем сумму всевозможных одночленов этой степени.

Кадр 41

А коэффициенты у этих одночленов такие: … >>

Кадр 42

«Здорово!—воскликнула Оля.—Каждое число внутри этой таблицы равняется сумме двух стоящих над ним чисел!»— «И дальше будет так же.—добавил Сосед.—

Кадр 43

У нас с тобой получился так называемый треугольник Паскаля. И если тебе вдруг захочется найти (a + в)к, то достаточно взять в этом треугольнике строчку с номером к: там написаны все коэффициенты.

Кадр 44

К сведению учителя Диафильм состоит из четырех фрагментов (конец каждого отмечен черным треугольником), и его можно использовать целиком или по частям во внеклассной работе или на уроках алгебры при изучении тем «Преобразование выражений», «Линейная функция», «Функция y = x²», «Квадрат суммы». Поработать с каким-либо фрагментом, полезно дать ученикам примеры. После первого фрагмента нужны примеры умножения на 11 не только чисел, у которых сумма цифр меньше 10, но и любых двузначных чисел: 37·11, 46·11 … («лишняя» единица должна прибавляться к первой цифре числа: 58·11 = 638). Завершить эту работу можно доказательством признака делимости трехзначного числа на 11.

Кадр 45

При умножении чисел вида 10a+в и 10a+c, где в+c=10, рекомендуем давать такие примеры: 113·117=13221 (здесь повторяется правило по умножения на II: (II·12=132). Также следует давать примеры на возведение в квадрат числа с пятеркой на конце (об этом пойдет речь в последнем фрагменте диафильма). Аналогично можно работать и с тремя другими фрагментами диафильма. К сведению учителя.

Кадр 46

Диафильм создан по программе средней общеобразовательной школы. Авторы кандидаты педагогических наук Е. Арутюнян Г. Левитас Художник В. Тарасов Художественный редактор В. Кузьмин Редактор И. Кремень Д-191-90 © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1990 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7. Цветной 0-80.