Решение тригонометрических уравнений

Кадр 1

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Диафильм по математике для X класса

Кадр 2

Объясните, почему функция y=sin x на отрезке [–π/2; π/2] имеет обратную функцию. Как она называется? Чему равен а) arcsin 0; б) arcsin 1; в) arcsin (–1); г) arcsin 1/2; д) arcsin (–1/2)?

Кадр 3

Объясните, почему функция y=cos x на отрезке [0; π] имеет обратную функцию. Как она называется? Чему равен а) arccos 0; б) arccos 1; в) arccos (-1); г) arccos 1/2; д) arccos (-1/2)?

Кадр 4

Объясните, почему функция y = tgx на отрезке [- π/2 : π/2] имеет обратную функцию. Как она называется? Чему равен а)arctg0; б)arctg 1; в)arctg(-1); г) arctg (- √3)?

Кадр 5

Можно ли указать с помощью графика приближенное значение а) arcsin 0,3; б) arccosπ; в) arcsin ⁶π; г) arccos 1,3; д) arctgπ; е) arctg (-0,3)? Если можно—укажите, если нет—объясните почему.

Кадр 6

С помощью графика y=sin x найдите: а) arcsin 0,5; б) arcsin (-0,5); в) arcsin 0,4; г) arcsin (-0,4); д) arcsin (–π/15); е) arcsin π/15.

Кадр 7

С помощью графика y=sin x найдите: а) arccos 0,5; б) arccos (-0,5); в) arccos 0,4; г) arccos (-0,4); д) arccos (–π/15); е) arccos π/15.

Кадр 8

С помощью графика y=tg x найдите: а) arctg 0,5; б) arctg (-0,5); в) arctg (1); г) arctg (-1); д) arctg 1,1; е) arctg (-1,1).

Кадр 9

Чтобы решить уравнение sin x=a графически, надо: 1) построить графики функций sin x=a и y=a; 2) найти абсциссы точек пересечения этих графиков (если они имеются). Укажите несколько решений уравнений: а) sin x=0,4; б) sin x=–0,5.

Кадр 10

Абсцисса точки С равна arcsin a. Чему равна абсцисса точки А? точки В? точки D?

Кадр 11

Объясните, почему уравнение sin x=a не имеет решений при |a|>1. Каковы решения этого уравнения при a=1? при a=-1? при a=0?

Кадр 12

Для того чтобы найти все решения уравнения sin x = a при |a|<1, достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длиной 2π . Почему? Укажите решения уравнения sin x = a на отрезке [0;2π].

Кадр 13

Объясните каждый шаг в доказательстве того, что решением уравнения sin x=a на отрезке [π/2; 3π/2] является x=π-arcsin a: Доказательство. Если π/2 < x < 3π/2 , то -π/2 > -x > -3π/2 ; π+(-π/2)>π-x>π+(-3π/2); π/2>π-x>-π/2. Поскольку -π/2 < π-x < π/2 и sin(π-x)=a, то π-x=arcsin a, x=π-arcsin a.

Кадр 14

Объясните каждый шаг в доказательстве того, что все решения уравнения sin x=a могут быть получены по формуле x=(-1)^k arcsin a+Kπ; K∈Z. Доказательство. Решения уравнения sin x=a: x=arcsin a+2πn; x=π-arcsin a+2πn или x=arcsin a+2nπ; x=arcsin a+(2n+1)π. Следовательно, x=(-1)^k arcsin a+Kπ; K∈Z.

Кадр 15

Укажите приближенные решения на отрезке [0; 2π] следующих уравнений: 1) sin x = π/6; 2) sin x = -1/2; 3) sin x = π/12; 4) sin x = 1/4. Как записать формулу для нахождения всех решений каждого из этих уравнений?

Кадр 16

Каким образом можно решить уравнение cos x=a графически? Каким должно быть a, чтобы уравнение имело решение? Укажите несколько решений уравнений: а) cos x=0.4; б) cos x=−0.5.

Кадр 17

Абсцисса точки С равна arccosa. Чему равна абсцисса точки A? точки B? точки D?

Кадр 18

Объясните, почему уравнение cos x=a не имеет решений при |a|>1. Каковы решения этого уравнения при a=1? при a=-1? при a=0?

Кадр 19

Для того чтобы найти все решения уравнения cos x=a при |a|<1, достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длиной 2π. Почему? Укажите решения уравнения cos x=a на отрезке [ -π; π ].

Кадр 20

Объясните каждый шаг в доказательстве того, что все решения уравнения cos x=a могут быть получены по формуле x=±arccos a+2Kπ. Доказательство. Решения уравнения cos x=a: x=arccos a+2Kπ; x=-arccos a+2Kπ. И, можно записать в виде формулы x=±arccos a+2Kπ.

Кадр 21

Укажите приближенные решения на отрезке [-π; π] следующих уравнений: 1) cos x = π/6; 2) cos x = -1/2; 3) cos x = -π/12; 4) cos x = 1/4. Как записать формулу для нахождения всех решений каждого из этих уравнений?

Кадр 22

Имеет ли уравнение tg x=a решение при |a|>1? при |a|<1? Укажите какое-либо одно решение этого уравнения: 1) при a=1; 2) при a=-1; 3) при a=0; 4) при a=2.

Кадр 23

Для того, чтобы найти все решения уравнения tg x=a, достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длиной π . Почему? Укажите решения уравнения tg x=a на отрезке [−π/2 ; π/2].

Кадр 24

Объясните, почему все решения уравнения tg x=a могут быть получены по формуле x=arctg a+Кπ, К∈Z.

Кадр 25

Укажите приближенные решения на отрезке [–π/2; π/2] следующих уравнений: 1) tg x=π/6; 2) tg x=–π/3; 3) tg x=–π/2; 4) tg x=2.

Кадр 26

Можно ли найти все решения уравнения sin x=l: а) по формуле x=(-l)ⁿ 𝜋/2 +𝜋n ; б) по формуле x= 𝜋/2 +2𝜋n (n∈Z)? Укажите две формулы, по которым могут быть найдены все решения уравнения sin x = -l.

Кадр 27

Можно ли найти все решения уравнения cos x=0: а) по формуле x=±π/2 + 2Kπ; б) по формуле x=π/2 + Kπ (K∈Z) ? Укажите две формулы, по которым могут быть найдены все решения уравнения cos x=-1.

Кадр 28

Каким образом можно свести решение уравнения 3sin² x - 7sin x + 2 = 0 к решению уравнений sin x = 2 и sin x = ⅓; решение уравнения 3 cos² x + 2cos x - 1 = 0 к решению уравнений cos x = ⅓ и cos x = -1? Укажите решения этих уравнений.

Кадр 29

Каким образом можно свести решение уравнения tg² x+2tg x–3=0 к решению уравнений tg x=–3 и tg x=1? Укажите решения этого уравнения.

Кадр 30

Каким образом можно свести решение следующих уравнений к решению простейших уравнений вида sin x=a, cos x=a, tg x=a: 1) 6sin² x – 5cos x + 5 = 0; 2) sin x – cos² x = 0; 3) sin⁴ x – cos⁴ x = 0; 4) sin² x – cos (π/2 + x) – 1 = 0; 5) 3cos² x – 4sin x cos x + sin² x = 0?

Кадр 31

К сведению учителя Диафильм состоит из нескольких фрагментов. Конец каждого фрагмента обозначен знаком Δ. Кадры 2–8 предназначены для пропедевтического знакомства с решением простейших тригонометрических уравнений. Кадры 9–15, 16–21, 22–25—для знакомства с решением простейших тригонометрических уравнений. Кадры 26–27 позволяют обратить внимание учащихся на то, что в некоторых случаях целесообразно записывать решения простейших тригонометрических уравнений, не прибегая к общей формуле. Последний фрагмент предназначен для обсуждения вопроса о том, что решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

Кадр 32

КОНЕЦ Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор кандидат педагогических наук М. ВОЛОВИЧ Художник-оформитель В. И. ЕРМОЛАЕВА Редактор Т. РАЗУМОВА Д-245-85 © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1985 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной