Перпендикулярность прямых и плоскостей

Кадр 1

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ AB⊥BC AA₁⊥α α⊥β Математика, X кл.

Кадр 2

К сведению учителя Кадры 3-20 предназначены для работы по учебнику «Геометрия» А. В. Погорелова, остальные — по учебнику «Геометрия» Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка. Стрелки в кадрах напоминают, что здесь учащимся надо перечислить известные им следствия из условия или те утверждения, из которых следует истинность заключения. Многоточие в кадрах означает требование закончить доказательство предлагаемой теоремы.

Кадр 3

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. AB1BC, так как ∠ABC=90°. Какие еще ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны?

Кадр 4

Теорема. Если прямые а, и b, пересекаются и соответственно параллельны перпендикулярным прямым а и b, то а, и b,—перпендикулярны. Дано: а₁ и b₁ — пересекаются. Доказать: а₁ ⊥ b₁. ABCM — квадрат. A₁M₁ || AM; A₁B₁ || AB. Докажите, что из теоремы следует: ∠B₁AM₁ = 90°.

Кадр 5

Доказательство теоремы. Дано: а₁ и b₁ — пересекаются. а₁ и b₁ — плоскости α₁; а и b — плоскости α₂; α₁ || α₂; а₁ и a — плоскости β₁; b₁ и b₂ — плоскости β₂. Проведем в β₁—AA₁ || CC₁; в β₂—B₁B || C₁C. AA₁ || BB₁. AA₁ и BB₁ в плоскости γ. AB || A₁B₁. ∠A₁CB₁ = 90°. Доказать: α₁ ⊥ b₁.

Кадр 6

Прямая а называется перпендикулярной плоскости α, если а перпендикулярна любой прямой х в α, проходящей через точку пересечения а и α. α —плоскость треугольника ABC; MO пересекает α в точке О; MO⊥α. Назовите перпендикулярные прямые.

Кадр 7

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая а пересекает плоскость α в точке А и перпендикулярна двум прямым в α, проходящим через точку А, то а перпендикулярна α.

Кадр 8

Доказательство теоремы. Дано: а пересекает α в А b и c лежат в α и проходят через А Проведем в α через А прямую x Отложим на а АА₁=АА₂ Проведем в α BC, пересекающую прямые b,c,x A₁B=A₁B A₁C=A₁C ΔA₁BC=ΔA₂BC ∠A₁AX=90° α ⊥ x Доказать: α ⊥ x

Кадр 9

Теорема. Если прямые а и b параллельны и плоскость α перпендикулярна прямой а, то α перпендикулярна прямой b. Дано: a || b α ⊥ a Доказать: α ⊥ b Известно, что AA₁ || BB₁ || CC₁. α — плоскость треугольника ABC. α ⊥ AA₁. Докажите, что из теоремы следует: BB₁ ⊥ BC и CC₁ ⊥ BC.

Кадр 10

Доказательство теоремы. Дано: a || b α ⊥ a Проведем в α через точку пересечения b и α произвольную прямую x₁. Проведем в α через точку пересечения a и α прямую x₂ || x₁. b ⊥ x₁ Доказать: α ⊥ b

Кадр 11

Теорема. Если две прямые перпендикулярны плоскости α, то они параллельны. Дано: a ⊥ α b ⊥ α Доказать: a || b Докажите, используя теорему, что если AA₁ ⊥ AB; AA₁ ⊥ AC; CC₁ ⊥ BC; CC₁ ⊥ AC, то AA₁ || CC₁.

Кадр 12

Доказательство теоремы. Дано: а ⊥ α; b ⊥ α Предположим, b ∦ a. Проведем через точку С прямую b' || a b' ⊥ a β — плоскость, образованная b и b' β пересекает α по BB' BB' ⊥ b BB' ⊥ b' Доказать: a || b

Кадр 13

АВ—перпендикуляр из А к плоскости α, если 1) АВ⊥α; 2) В—точка α. В—основание перпендикуляра. Длина АВ—расстояние от А до α. АС—наклонная из А к плоскости α, если 1) АС не перпендикуляр к α; 2) С—точка α. С—основание наклонной. АВ—перпендикуляр из А к α; АС и АМ—наклонные. BC—проекция наклонной AC на плоскость α. Назовите проекцию AM на α.

Кадр 14

Рассмотрим перпендикуляр АВ и наклонную АС к плоскости α, лежащую в α и проходящую через основание наклонной. 1. Если а перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна наклонной. 2. Если а перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна проекции наклонной. MO — перпендикуляр к плоскости α треугольника ABC; ODLAC; MKLBC. Сформулируйте ту часть теоремы, из которой следует, что 1) OK⊥BC; 2) MD⊥AC.

Кадр 15

Докажем вначале: если MC⊥BC, то MC⊥AC.

Кадр 16

Рассмотрим плоскости α и β и плоскость γ, перпендикулярную линии их пересечения. Если γ пересекает α и β по перпендикулярным прямым, то α и β называются перпендикулярными. Докажите, что плоскости граней куба ABB₁A₁ и ABCD— перпендикулярны.

Кадр 17

Теорема. Если плоскость β проходит через прямую b, перпендикулярную к плоскости α, то β перпендикулярна α. Дано: b ⊥ α; β проходит через b. Доказать: α ⊥ β. KO ⊥ AC; KO ⊥ BD. Докажите, что из теоремы следует перпендикулярность плоскостей четырёхугольника ABCD и треугольника AKC.

Кадр 18

Доказательство теоремы.

Кадр 19

Отрезок AB называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых a и b, если A и B — на этих прямых, AB — перпендикуляр к каждой из них. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Объясните, почему расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

Кадр 20

Докажем, что единственный общій перпендикуляр скрещивающихся прямых является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые. Через а и b проведем параллельные плоскости α и β. Прямые, проходящие через а и перпендикулярные β, образуют плоскость γ. Завершите доказательство существования обшего перпендикуляра скрещивающихся прямых. Почему прямая СМ не может быть общим перпендикуляром а и b?

Кадр 21

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Ребра АВ и ВС куба перпендикулярны, так как ∠АВС=90°. Объясните, почему АВ⊥В₁С₁.

Кадр 22

Лемма. Если две прямые параллельны и одна из них перпендикулярна третьей прямой, то и вторая перпендикулярна третьей прямой.

Кадр 23

Доказательство леммы. Дано: a || b; a ⊥ c. Через произвольную точку М проведем MA || a, MC || c. ∠AMC=90°. MA || b. Доказать: b ⊥ c.

Кадр 24

Прямая а называется перпендикулярной плоскости α, если а перпендикулярна любой прямой х, лежащей в α. α — плоскость треугольника ABC; MO⊥α; OE⊥α. Назовите перпендикулярные прямые.

Кадр 25

Теорема. Если две прямые параллельны и одна из них перпендикулярна плоскости α, то и вторая перпендикулярна плоскости α.

Кадр 26

Доказательство теоремы. Дано: a || b а ⊥ α Проведем в α произвольную прямую x a ⊥ x b — перпендикулярна любой прямой в α Доказать: b ⊥ α

Кадр 27

Теорема. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости α , то они параллельны. Прямая KB перпендикулярна любой прямой в плоскости β. Прямая OM перпендикулярна любой прямой в плоскости β. Докажите, используя рассматриваемую теорему, что прямые KB и OM параллельны.

Кадр 28

Доказательство теоремы. Дано: a⊥α; b⊥α. Предположим, что a∩b. Проведем через B∈b прямую b₁ || a (O и O₁ — точки пересечения b и b₁ с α). ∠BOO₁ = 90°. ∠BO₁O = 90°. Доказать: a || b.

Кадр 29

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая а пересекает плоскость α и перпендикулярна двум пересекающимся прямым в α, то а перпендикулярна α.

Кадр 30

Доказательство теоремы. (Случай, когда а проходит через точку пересечения b и с.)

Кадр 31

Доказательство теоремы. (Случай, когда а не проходит через точку пересечения b и с.)

Кадр 32

Теорема. Если С — любая точка пространства, α — данная плоскость, то 1) существует прямая с, которая проходит через С и перпендикулярна α; 2) С — единственная. Дано: С — любая точка Проведем в α любую прямую а Проведем через С плоскость β⊥a В β проведем через С прямую с, перпендикулярную линии пересечения плоскостей α и β Доказать: существует такая прямая с, что С∈с и с⊥α. Докажите единственность прямой с.

Кадр 33

AB–перпендикуляр из точки А к плоскости α, если 1) AB⊥α и 2) B∈α. Длина AB–расстояние от А до α. AC–наклонная из точки А к плоскости α, если AC не перпендикуляр к α и C∈α. AB–перпендикуляр к α. AC и AM–наклонные. BC–проекция наклонной AC на плоскость α. Назовите проекцию наклонной AM на плоскость α.

Кадр 34

Рассмотрим перпендикуляр AB и наклонную AC к плоскости α; прямую а, лежащую в α. 1. Если а перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна наклонной. 2. Если а перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна проекции наклонной. MO — перпендикуляр к плоскости α треугольника ABC; MK ⊥ BC; OD ⊥ AC. Сформулируйте ту часть теоремы, из которой следует, что: 1) OK ⊥ BC; 2) MD ⊥ AC.

Кадр 35

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах. AB—перпендикуляр к α; AC—наклонная к α; a—прямая в α. Докажем вначале: если a ⊥ BC, то a ⊥AC. a ⊥BC a ⊥AB a ⊥AC Докажите, используя тот же чертеж, обратную теорему: если a ⊥AC, то a ⊥BC.

Кадр 36

α — плоскость треугольника ABC; MO⊥α. Что такое угол: 1) между MC и α; 2) между MO и α; 3) между MA и α?

Кадр 37

Если α и β полуплоскости, не принадлежащие одной плоскости и имеющие общую границу α, то фигура, образованная прямой α и полуплоскостями α и β, называется двугранным углом. α — ребро двугранного угла; α и β — его грани.

Кадр 38

Если один из четырех двугранных углов, образовавшихся при пересечении плоскостей α и β, не больше любого из трех остальных, то это — угол между α и β.

Кадр 39

Теорема. Если плоскость β проходит через прямую b, перпендикулярную к плоскости α, то β перпендикулярна α.

Кадр 40

Доказательство теоремы. Дано: b ⊥ α, β проходит через b b перпендикулярна любой прямой в α α и β пересекаются по прямой с b ⊥ c Проведем в α через точку пересечения b и α прямую a ⊥ c Через a и b проходит плоскость γ Доказать: α ⊥ β

Кадр 41

Теорема. Если ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, то квадрат диагонали равен сумме квадратов всех измерений.

Кадр 42

Доказательство теоремы. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁–прямоугольный параллелепипед ∠BAD=90° BD¹ = AB¹ + AD¹ BB₁–перпендикуляр к плоскости ABC ∠B₁BD=90° Доказать: B₁D¹ = BA² + BC² + BB₁²

Кадр 43

Диафильм создан по программе средней общеобразовательной школы Автор доктор педагогических наук М. ВОЛОВИЧ Художник-оформитель В. ЕРМОЛАЕВА Редактор И. Кремень Д-015-92 © Студия «Диафильм», 1992 г. 101000, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной