Параллельные прямые и плоскости

Кадр 1

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ Диафильм по математике для IX класса

Кадр 2

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Прямые AD и PQ пересекаются. Прямые AC и B₁D₁-скрещивающиеся. Являются ли параллельными, пересекающимися или скрещивающимися прямые а) AB и CD₁; б) AB и C₁D₁; в) CD и C₁D₁; г) CD и AA₁; д) CD и A₁B₁?

Кадр 3

Установите, считая, что задача решена, каким может быть взаимное расположение прямых с и d, пересекающих прямые а и b?

Кадр 4

Решение задачи. Дано: a || b; m пересекает a и b. a и b лежат в α. A ∈ m и A ∈ a. B ∈ m и B ∈ b. A ∈ α и B ∈ α. Докажите: m лежит в одной плоскости с a и b.

Кадр 5

Может ли прямая m быть параллельной ребру куба AB?

Кадр 6

Доказательство теоремы 15.1. Дано: А вне а. Через А и а можно провести α. В α через А проводим b || а. Предположим, через А проходит b, || а. Проведем через а и b₁ плоскость α₁. Докажите: 1) Через А можно провести прямую b₁, параллельную а; 2) b — единственная.

Кадр 7

Объясните, почему из рассматриваемой задачи следует справедливость утверждения: «Если прямые а и b пересекаются, то все прямые, параллельные прямой b и пересекающие прямую а, лежат в одной плоскости».

Кадр 8

Дано: a и b пересекаются; m || b; m пересекает a в точке М. Через a и b можно провести α. Через М проходит единственная прямая, параллельная b. Проведем в α через М прямую m' || b. Докажите: m лежит в одной плоскости с a и b.

Кадр 9

Можно ли применить теорему к доказательству параллельности ребер куба BB₁ и DD₁?

Кадр 10

Доказательство теоремы 15.2. Дано: a || c, b || c. a и c лежат в α и не пересекаются. b и c лежат в β и не пересекаются. Проведем γ через b и A↑a. Пусть γ пересекает α по a₁. Пусть a₁ пересекает β в B. B ∈ c. B ∈ b. a₁ совпадает с a. a и b в γ и не пересекаются. Докажите: a || b.

Кадр 11

Воспользовавшись обозначениями чертежа, установите, чему равен периметр MNPQ, если AC = 9 см, BD = 10 см.

Кадр 12

M, N, P, Q — середины сторон пространственного четырёхугольника ABCD. Соединим A с C, B с D. MQ, NP, MN, QP — средние линии треугольников ABD, CBD, ABC, ADC. MQ II BD; NP II BD; MN II AC; PQ II AC; MQ II PN и MN II PQ. Докажите: MNPQ — параллелограмм.

Кадр 13

Можно ли с помощью теоремы установить параллельность ребра AA₁ и задней грани куба?

Кадр 14

Доказательство теоремы 15.3. Дано: b вне α. a лежит в α. b || a. Можно провести β через b и a; b и a не пересекаются. a — линия пересечения α и β. Пусть b пересекает α в B, B ∈ b, B ∈ α, B ∈ a. ... Докажите: b || d.

Кадр 15

В задаче говорится о скрещивающихся прямых. А можно ли провести через а плоскость, параллельную b, если 1) а и b пересекаются; 2) а и b параллельны?

Кадр 16

Дано: а и b — скрещивающиеся. a и b не имеют общих точек. Проведем через A ∈ a прямую b₁ || b. Докажите: Через a можно провести плоскость β, параллельную b.

Кадр 17

Каким образом, используя теорему, можно установить параллельность противоположных граней куба?

Кадр 18

Доказательство теоремы 15.4. Дано: Пересекающиеся а и b в с; β || а; β || b. а не пересекает β. b не пересекает β. Предположим, а и β пересекаются по С; а || с, b || с. α не пересекает β. Докажите: α || β.

Кадр 19

Можно ли, считая, что задача решена, указать параллельные плоскости, которые проходят через ребра куба AD и C₁D₁? AD и BB₁?

Кадр 20

Дано: a и b — скрещивающиеся. a и b не имеют общих точек. Отметим: A ∈ a и B ∈ b. Проведем через A прямую b' || b. Проведем через B прямую a' || a. Как провести через a и b параллельные плоскости α и β?

Кадр 21

Можно ли указать плоскость, проведенную через вершину D куба параллельно а) верхней грани; б) задней грани; в) нижней грани?

Кадр 22

Доказательство утвержденія 1 теоремы 15.5. Дано: А вне α. Проведем в α пересекающиеся a₁ и b₁. Через А проведем a || a₁ и b || b₁. Доказательство: 1) Через А можно провести β || α.

Кадр 23

Доказательство утверждения 2 теоремы 15.5. Дано: Через А проходит βIIα, а II а₁, b II b₁. Пусть через А проходит βIIα. Проведем γ₁ через а и а₁; γ₂ через b и b₁. Обозначим через а' пересечение γ₁ и β'; через b'—пересечение γ₂ и β'. a' II a, b' II b, а' совпадает с а, b' совпадает с b. … Докажите: β —единственная.

Кадр 24

Укажите, к какому противоречию приводит предположение: «α и β имеют общую точку», и решите задачу.

Кадр 25

К какому противоречию приводит предложение: «AB и CD пересекаются»? Выполните доказательство.

Кадр 26

Дано: α || β; через А вне α и β проведена а, пересекающая α и β в М и N. Докажите: Отношение AM: AN не зависит от а.

Кадр 27

Решение задачи: Дано: α || β; через А вне α и β проведена α₁, пересекающая α и β в М и N. Через А проведем α₁, и через α и α₁—плоскость δ; δ пересекает α по MM₁, β—по NN₁. ΔAMM₁ и ΔANN подобны. AM/AN = AM₁/AN₁. Отношение AM:AN не зависит от α.

Кадр 28

Теорема 15.7. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Кадр 29

Доказательство теоремы 15.7. Дано: α || β; AB || CD; A ∈ α; C ∈ α; B ∈ β; D ∈ β. AB и CD лежат в γ. AC || BD. Докажите: AB = CD.

Кадр 30

Каким образом построить изображение точки К при параллельном проектировании на плоскость α?

Кадр 31

Докажите свойство I, рассмотрев пересечения прямых, проектирующих точки отрезка АВ на плоскость ж. Почему все эти прямые лежат в одной плоскости?

Кадр 32

Покажите свойство 2, рассмотрев линию пересечения плоскостей, заданных прямыми AB и AA₁, CD и CC₁, с плоскостью α. Какие утверждения вы при этом используете?

Кадр 33

AX : XB = 1 : 2 A₁X₁ : X₁B₁ = 1 : 2 Докажите свойство 3, рассмотрев треугольники AXA' и BXB' (A'B' || A₁B₁).

Кадр 34

Задача. Дано: Δ А₁В₁С₁ — параллельная проекция треугольника ABC. Как построить проекцию медиан треугольника ABC? Докажите, что проекции средних линий треугольника ABC параллельны сторонам треугольника А₁В₁С₁.

Кадр 35

Сформулируйте свойства параллельного проектирования, которые использовались при решении задачи.

Кадр 36

К сведению учителя Диафильм предназначен для объяснения темы «Параллельность прямых и плоскостей» по учебнику А. В. Погорелова. Он содержит весь теоретический материал, в том числе задачи, решение которых рассмотрено в тексте параграфа. Рекомендуем демонстрировать на уроке лишь тот фрагмент диафильма, который относится к изучаемому материалу.

Кадр 37

Знак ↓ означает, что надо перечислить известные ученикам выводы из условия или части условия. Например (кадр 3), из параллельности прямых а и b следуют выводы: 1) а и b лежат в одной плоскости; 2) а и b не пересекаются. Знак ↓ означает, что требуется вспомнить те аксиомы, определения, теоремы, из которых следует истинность заключения или его фрагмента. Многоточие в кадрах с доказательствами теорем (решениями задач) означает требование закончить доказательство. Желательно обсуждать, на основании чего сделан каждый из выводов, и прослеживать весь ход доказательства от условия до заключения.

Кадр 38

КОНЕЦ Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Б. МАРКОВ Художник-оформитель Н. ДУНАЕВА Редактор В. ЧЕРНИНА © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1985 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 Д-073-85