Векторы в пространстве

Кадр 1

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Диафильм по математике для 9 класса

Кадр 2

Какое из этих отображений пространства является преобразованием? Дайте определение преобразования пространства.

Кадр 3

Перемещение в пространстве, как и на плоскости, сохраняет расстояние между точками: М переходит в М' так, что |A'M'|=|AM|, |B'M'|=|BM|, |C'M'|=|CM|.

Кадр 4

ФРАГМЕНТ I. Направление в пространстве. Вектор

Кадр 5

Луч [AB] задает направление в пространстве, т. е. выделяет среди всех лучей множество сонаправленных с ним лучей. Назовите лучи, сонаправленные с [AB]; противоположно направленные с [AB].

Кадр 6

Дана упорядоченная пара точек (A,B), где A≠B. Вектор (параллельный перенос), определяемый (A,B), переводит любую точку M в такую точку M₁, что: 1. [MM₁]||[AB]; 2. |MM₁|=|AB|. Вектор (перенос), определяемый (A,A), есть тождественное преобразование.

Кадр 7

Свойства векторов в пространстве и их доказательство

Кадр 8

Назовите образы элементов, указанных в таблице, при перемещениях АВ, ВС.

Кадр 9

Назовите векторы, имеющие равную длину; сонаправленные векторы; противоположно направленные векторы; равные векторы. Какие из данных векторов являются колинеарными?

Кадр 10

ФРАГМЕНТ 2. Действия над векторами в пространстве и их свойства

Кадр 11

Композиция векторов а и b есть вектор с, называемый суммой векторов а и b: а+b=с. AB+BC=AC («правило треугольника»).

Кадр 12

Какими свойствами обладает сложение векторов в пространстве?

Кадр 13

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться правилом параллелограмма. Для того, чтобы тащить лодку против течения, туристы использовали сначала короткие, а потом длинные веревки. В каком случае тащить лодку оказалось легче?

Кадр 14

Найдите сумму векторов: АА₁ + АЕ + Е₁D₁; BC + C₁B₁; C₁D₁ + C₁C + DB; C₁B₁ + BC.

Кадр 15

Каковы направление и величина равнодействующей силы в каждом случае 1, 2, 3? Если сумма двух векторов равна нулевому вектору, то векторы называются противоположными.

Кадр 16

вектор ċ называется разностью векторов ā и ḃ, если ḃ+ċ=ā.

Кадр 17

Найдите разность векторов: SA–SB; CB–AB; OC–OA; OD–BO.

Кадр 18

Умножение вектора на число в пространстве определяется так же, как и в планиметрии.

Кадр 19

На какие числа нужно умножить вектор ā (или ь), чтобы получить остальные векторы?

Кадр 20

ФРАГМЕНТ 3. Коллинеарные и компланарные векторы

Кадр 21

В ∈ (OA) ⇒ ā и b коллинеарны С ∈ (OAB) ⇒ ā, b, c компланарны Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны. Три ненулевых вектора называют компланарными, если лучи, задающие их направления, лежат на прямых, параллельных одной плоскости.

Кадр 22

Укажите пары колинеарных векторов: А₁С₁ и BD; EF и B₁D₁; MN и DC; FC и FB. Укажите тройки компланарных векторов: AB, B₁C₁, EF; MN, AM, DB; AD₁, AB, A₁C₁; B₁D₁, B₁B, AA₁.

Кадр 23

ā и ḃ — два неколлинеарных вектора. Любой вектор ċ, компланарный с ā и ḃ, можно разложить единственным образом по этим векторам: ċ = xā + yḃ.

Кадр 24

Разложите векторы ṁ, ṅ, р, ᾷ по векторам ā и ъ.

Кадр 25

Докажите, что сумма ⃑OA+⃑OB+⃑OC равна ⃑OS.

Кадр 26

Любой вектор пространства d можно разложить и притом единственным образом по трем данным некомпланарным векторам а, б, с: d = ха + уб + zс.

Кадр 27

Разложить векторы OQ, OS, OP, ON, OD и т. д. по векторам l₁, l₂, l₃.

Кадр 28

ФРАГМЕНТ 4. Угол между двумя векторами. Скалярное умножение двух векторов

Кадр 29

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Найдте угол между векторами: АВ и А₁В₁; ВВ₁ и С₁С; АС и АВ; АВ и АС; АВ и В₁В₁; АВ и С₁В₁; А₁В₁ и В₁С₁.

Кадр 30

(p,q)=ψ, где 0°≤ψ≤90° Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, определяемых этими прямыми. Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Кадр 31

Формула, по которой вычисляется в физике и механике работа (A=F·S·Cosα, гдеα=(F, S)), послужила основанием для введения еще одной операции над векторами. Эта операция — скалярное умножение двух векторов.

Кадр 32

Пользуясь определением скалярного произведения двух произвольных векторов, вычислите а·b, если |ā|=3, |b|=2, (ā,b)=60°.

Кадр 33

Именно тем, что результатом операции является число („скаляр”), и объясняется название операции — скалярное умножение двух векторов. Можно ли рассматривать скалярное произведение 3-х (и более) векторов?

Кадр 34

Какой знак имеет скалярное произведение ненулевых векторов, изображенных на рис. 1—4?

Кадр 35

Чему равно скалярное произведение двух ненулевых векторов ā и ᵝ, если ā⊥ᵝ? Как расположены ненулевые векторы ā и ᵝ, если ā⋅ᵝ=0?

Кадр 36

Скалярное произведение ἆ·ἆ называют скалярным квадратом вектора ἆ и обозначают ἆ².

Кадр 37

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ имеем |AA₁|=6, |A₁D₁|=3, |D₁C₁|=4. Вычислите AB², BA², A₁C₁², BD² DB², DC₁.

Кадр 38

Вычислите каждый из недостающих компонентов таблицы.

Кадр 39

Термин произведение выбран для обозначения скаляра |ā|·|b|·Cos(ā,b) не случайно: операция ā·b имеет многие свойства, присущие операции умножения чисел.

Кадр 40

Вычислите: ā·b; b·ā; (3ā)·b; (–ā)·(2b); 2ā·(ā+b); b·(3ā–2b); (ā+b)·(ā–b).

Кадр 41

Диафильм сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор А. Литвинова Консультант Г. Левитас Художник-оформитель Н. Дунаева Редактор Н. Морозова Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1977 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., д № 7 Цветной 0-30 Д-167-77