Вращение

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ВРАЩЕНИЕ Диафильм по математике для средней школы

Кадр 2

ВРАЩЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА

Кадр 3

Вращение „Точка М’ получена из точки М в результате вращения около точки 0 на угол φ” означает, что точки М и М’ лежат на одной окружности радиуса 0М с центром 0 и ∠MOM’=φ.

Кадр 4

Построить точку А', полученную из точки А вращением на угол φ=70°. Почему эта задача неопределённая? Что нужно добавить к условию задачи, чтобы она стала определённой?

Кадр 5

Построить точку B¹, полученную из точки B вращением около данной точки 0 на угол φ=70°. Почему эта задача также неопределённа? Чем надо дополнить условие задачи, чтобы её решение стало однозначным?

Кадр 6

Будем считать направление вращения против часовой стрелки положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Запишем: ∠BOB′=70°; ∠BOB″=−70°.

Кадр 7

И каждая из точек К', М', N' получена в результате вращения фигуры F около точки О на угол φ=-120°. Как получить точки, соответственные (в результате данного поворота) точкам А; В; О?

Кадр 8

Вращением (или поворотом) фигуры F около точки О на угол ⊾ называют такое преобразование, при котором каждая точка М фигуры F переходит в точку М', полученную из М вращением около точки О на угол ⊾. При этом точка О переходит сама в себя (остаётся неподвижной).

Кадр 9

Окажется ли фигура F', полученная из фигуры F в результате вращения, равной фигуре F? Чтобы ответить на этот вопрос воспользуемся свойствами осевой симметрии.

Кадр 10

Рассмотрим две оси симметрии l₁ и l₂₁, пересекающиеся в точке 0 под углом ∠. Ось l₁ переводит фигуру F в F₁, а ось l₂ — фигуру F₁ в F₂.

Кадр 11

Любые точки K и N последовательным применением двух симметрий переводятся в точки K₂ и N₂. При этом ∠KOK₂=2(x+β); ∠NON₂=2(y+δ); x+β=y+δ; 2(x+β)-2δ. Поэтому ∠KOK₂=NON₂=2δ. Мы видим, что точки K₂ и N₂ можно получить из точек K и N путём вращения около 0 на угол 2δ.

Кадр 12

Рассмотрим вращение с центром 0 на угол φ. Оно переводит точки А и В фигуры F в соответствующие точки А₁ и В₁, фигуры F₁ .

Кадр 13

Проведём через точку 0 оси l₁ и l₂ под углом φ/2 и докажем, что точки А₁ и В₁ можно получить из точек А и В последовательным применением двух симметрий. Ось l₁ переводит точки А и В в А₂ и В₂. ∠DOA₁ = φ - (φ/2 - ∠l₁OD. Следовательно, точка А₁ симметрична А₂ относительно l₂ . Докажите, что В₁ также симметрична В₂ относительно l₂.

Кадр 14

Таким образом, две последовательные симметрии с пересекающимися в точке О под углом ⅔ осями тождественны с вращением около центра О на угол Ψ.

Кадр 15

Из свойств осевой симметрии вытекает, что при вращении фигура переходит в фигуру, ей равную и одинаково ориентированную.

Кадр 16

Назовите фигуру, полученную вращением около точки К на данный угол φ: а) из отрезка АВ; б) из прямой α.

Кадр 17

Какая фигура получится из окружности в результате вращения около точки М на данный угол φ?

Кадр 18

Треугольник К&M получен из треугольника ABC путём вращения около точки 0. Как найти угол поворота, если известно, что точки P и P₁ соответственные?

Кадр 19

Четырёхугольник PKME получен из четырёхугольника ABCD вращением на угол φ=–90°. Как найти центр данного вращения, зная, что точке N соответствует точка О?

Кадр 20

Найти вращение (центр вращения и угол поворота), переводящее отрезок РК в отрезок ВD.

Кадр 21

Если считать соответственными точки К и В, то имеет место случай а. Если же за соответственные точки принять Р и В, то осуществляется случай б. Рассмотрите каждый случай и объясните решение задачи.

Кадр 22

Как найти вращение, которое бы переводило прямоугольник ABCD в равный ему прямоугольник K2MN, считая точки A и K соответственными?

Кадр 23

Треугольник A₁B₁C₁ получен из треугольника ABC вращением около точки 0 на угол φ=180°. Докажите, что ΔABC и ΔA₁B₁C₁ симметричны относительно 0.

Кадр 24

ЗАДАЧИ

Кадр 25

Задача 1. На какой угол φ(φ≠0, φ≠±360°) около точки Р нужно повернуть прямую α, чтобы она перешла сама в себя?

Кадр 26

Задача 2. На какой угол φ (0°<φ<180°) около центра М нужно повернуть прямую α, чтобы она перешла в прямую β ?

Кадр 27

Задача 3. ABCD – квадрат; К – центр квадрата; М – середина отрезка CD. В какие точки в результате вращения около центра К на угол φ=-90° перейдут точки А; В; М? В какую фигуру перейдёт квадрат ABCD?

Кадр 28

Задача 4. Рассмотрим вращение на угол φ=120° около точки Р – центра равностороннего треугольника КСМ. В какую точку перейдёт точка К; точка С; середина отрезка РМ? Назовите фигуру, соответственную (в результате данного вращения) треугольнику КСМ.

Кадр 29

Задача 5. Повернуть прямую α около точки 0 на угол φ=-40°.

Кадр 30

Решение. На прямой α выбираем две произвольные точки А и В и строим путём вращения около центра 0 на угол –40° соответственные им точки А' и В'. Через точки А' и В' проводим прямую α. Почему прямая α – искомая? (Объясните построение в случае б).

Кадр 31

Задача 6. Фигура F состоит из двух параллельных прямых α и β. Путём вращения на угол 60° около центра 0, лежащего на прямой β, построить фигуру F', соответствующую фигуре F.

Кадр 32

Объясните решение этой задачи.

Кадр 33

Задача 7. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат на трёх данных прямых.

Кадр 34

Решение. Пусть задача решена и ΔАВС построен. Произведём поворот около центра В на угол 60°. Тогда точка А перейдёт в точку С, прямая α в α' и т. д. Если точка В на прямой β выбрана, то точка С может быть найдена как точка пересечения прямых α и α' (данной и повёрнутой).

Кадр 35

Выполним построение. 1) На прямой β построим (произвольно) точку В. 2) Произведем поворот около точки В на угол 60°. Получим точку С. 3) Из центра В проведём окружность радиусом, равным BC. Получим точку А пересечения этой окружности с прямой α.

Кадр 36

4) Соединим точки: А и В, В и С, С и А. Полученный ∠АВС – искомый. Докажем это. Отрезки ВА и ВС равны как радиусы одной окружности. Точка С прямой α' соответствует (при данном вращении) точке А прямой α. Поэтому ∠АВС= 60° и ∠АВС – равносторонний.

Кадр 37

Точка С треугольника ABC была получена путём вращения на угол 60°. При повороте на угол-60° мы получим второе решение. Таким образом, при данном выборе точки В на прямой В задача имеет два решения.

Кадр 38

Задача 8. Дан квадрат ABCD и точка M на стороне CD. Построить равносторонний треугольник так, чтобы все его вершины лежали на сторонах квадрата и одна из них в точке M.

Кадр 39

Решение. Допустим, что ΔMNK построен. Произведём вращение около точки M на угол 60°. Тогда квадрат ABCD перейдёт в квадрат A₁B₁C₁D₁, и вторая вершина ΔMNK (точка K) может быть найдена как точка пересечения отрезков C₁B₁ и A₁D₁.

Кадр 40

Выполним построение: 1) Совершим поворот около точки М на угол 60°. Получим точку К (точку пересечения отрезков С₁В, и АD). 2) Проведём окружность с центром в точке М радиуса МК. Получим третью вершину треугольника – точку N.

Кадр 41

3) Соединим точки: М и N, N и K, K и M. Получим искомый треугольник. Почему при выполненном вращении точка К соответствует точке N (почему ∠NMK = 60°)? Почему ΔNMK – равносторонний?

Кадр 42

Задача 9. Даны три концентрические окружности. Построить равносторонний треугольник, вершины которого принадлежат этим окружностям.

Кадр 43

Решение. Допустим, что искомый ΔАВС построен. Совершим поворот около точки В на угол 60°. Тогда окружность α перейдёт в окружность α₁, точка А окружности α — в соответственную точку С окружности α₁. Тем самым будет определена вторая вершина С в ΔАВС (вершина В была выбрана произвольно).

Кадр 44

Выполним построение. 1) На окружности β строим произвольную точку В. 2) Производим вращение вокруг точки В на угол 60°. Получаем точку С. 3) Поворачиваем точку С около В на угол – 60°. Находим точку А.

Кадр 45

4) Соединяем точки: А и В, В и С, С и А. Докажите, что полученный ΔАВС – искомый.

Кадр 46

Сколько решений имеет эта задача в данном случае? Нание варианты (при фиксированном положении точки В) возможны ещё?

Кадр 47

КОНЕЦ Автор Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ Редактор Л. Б. КНИЖНИКОВА Чертежи С. Н. РОГОВА Художник-оформитель С. Н. РОГОВ Д-450-65 Студия „Диафильм“, 1965 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30