Графики функций

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ (Диафильм по математике для 9–10 классов)

Кадр 2

К СВЕДЕНИЮ УЧИТЕЛЯ. Графики различных функций нужно уметь строить и сознательно читать. С этой целью графики, данные в диафильме, постройте самостоятельно, а затем исследуйте их функции. Рекомендуем следующую схему исследования: 1. Выяснение ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ функции. 2. ОБЛАСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ функции.

Кадр 3

3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ функции. ПРЕДЕЛ функции в точке. 4. ЧЁТНОСТЬ или НЕЧЁТНОСТЬ функции. 5. КОРНИ (нули) функции. 6. Промежутки ВОЗРАСТАНИЯ и УБЫВАНИЯ функции. Точки МАКСИМУМА и МИНИМУМА функции. 7. Промежутки ЗНАКОПОСТОЯНСТВА функции. 8. ПЕРИОДИЧНОСТЬ функции.

Кадр 4

В диафильме представлены также графики функций, отражающих конкретные зависимости из физики и техники. Для них вполне уместны вопросы из нашей схемы и особо следует заметить, что область определения таких функций каждый раз диктуется физической природой процесса.

Кадр 5

График зависимости скорости звука (V м/сек) в воздухе от температуры (t°C). График зависимости линейной скорости (Vм/сек) точек диска от радиуса (Rm). (n — число оборотов).

Кадр 6

График зависимости между силой тяги (F в ньютонах) и скоростью (Vм/сек) при постоянной мощности (N) F = N/V. График зависимости объёма воды от температуры.

Кадр 7

График показывает зависимость температуры плавления сплава меди с магнием от весовых пропорций компонентов сплава.

Кадр 8

На балку длиной AB=l действует сосредоточенная нагрузка P. Функция, геометрическим изображением которой служит изогнутая ось балки, записывается так: y'¹Mx3–NQ–T(x–a)³ при a<x<l.

Кадр 9

Функция, принимающая для каждого числа х значение, равное наибольшему целому числу, не превосходящему этого х, называется АНТЬЕ функцией и обозначается y=[x] или y=E(x). Функция y=x-[x] называется дробной частью числа х и обозначается y={x}. Функция {x} -периодическая, её период =1.

Кадр 10

Функция y=sgnx задаётся следующим законом: { y= 1 при x>0 { y= 0 при x=0 { y=-1 при x<0 Эту функцию принято обозначать y=sgnx или y=signx. Читается так: сигнум от x.

Кадр 11

Большое распространение имеют функции со знаком модуля (знак абсолютной величины). По определению модуля следует: |x|={ x, если x>o o, если x=o -x, если x<o. Во многих кадрах мы встретим функции со знаком модуля.

Кадр 12

График функции y=|x|. Эту же функцию можно записать в таком виде: y={ x, если x≥0; -x, если x<0. График функции y=|x-2|. Эту же функцию можно записать в таком виде: y={ x-2, если x≥2; -x+2, если x<2. График функции y=|x-2| можно получить также параллельным переносом графика функции y=|x| на 2 единицы вправо вдоль оси OX.

Кадр 13

График функции y = |x|–2. Эту же функцию можно записать так: y={ x-2, если x≥0 -x-2, если x<0. График функции y = |x–||–|x|+|. Эту функцию можно записать также в форме: y={ -2 при x≥1 -2x при -1<x<1 2 при x<1.

Кадр 14

График функции y=x²-3|x|+2. Эту же функцию можно записать так: y={x²+3x+2 при x≤0; x²-3x+2 при x>0}.

Кадр 15

График функции y = |x²-3|x|+2| График функции y = ||x²-1|-2| Обе эти функции чётные, и, следовательно, их графики симметричны относительно оси ординат.

Кадр 16

График функции y=x2-2|x+1|-1. Эту же функцию можно записать в таком виде: y={x2+2x+1 при x<-1; x2-2x-3 при x>-1}. График функции y= |x|(|1-x2)/x

Кадр 17

График функции y=|x|(x-4). График функции y= |x-1| x².

Кадр 18

График функции y=x|x-2|. Эту же функцию можно записать так: y= { -x²+2x при x≤2 x²-2x при x>2.

Кадр 19

График иррациональной функции y= 1/4 x √16-x². Область определения функции - сегмент [-4; 4]. Область изменения функции - сегмент [-2; 2]. Функция нечётная. График функции y= √x²+1 - √x²-1. Область определения функции x≤1 или x≥1 при x=±1, y=√2; при x→±∞, y→0. Область изменения функции 0<y≤√2. Функция чётная.

Кадр 20

Графиком функции y=√8+2x-x² служит полукружность с радиусом R=3 и центром в точке (1; 0) y = √8+2x-x² = √9-1+2x-x² = √9-(x-1)².

Кадр 21

Здесь изображено семейство показательных функций y=αˣ при α=2; 3; 10; 10⁻¹ 3⁻¹ 2⁻¹.

Кадр 22

Здесь изображено семейство функций y=2x-m, где m=1; 0; -1. График функции y=2x-1 можно получить из графика функции y=2x либо параллельным переносом вправо вдоль оси OX на одну единицу, либо сжатием вдвое вдоль оси OY, так как y=2x-1=½2x.

Кадр 23

График функции y=2^|x| График функции y=2^x График функции y=2^-x

Кадр 24

Здесь изображено семейство логарифмических функций y=loga x. a=2; 3; 10; ⅓; ½.

Кадр 25

График функции y = |log₂ |x|.

Кадр 26

График функции y=log₂(l-x²). Область определения функции – интервал -l<x<l. Область изменения функции 0≤y<∞. Функция чётная. Прямые x=±l служат вертикальными асимптотами.

Кадр 27

График функции y = log₂ |x|.

Кадр 28

Графики функций y=x² и y=2ˣ пересекаются в трёх точках, если x₁≈-0.8; x₂=2 и x₃=4. При всех значениях x, больших, чем x₃, функция y=2ˣ будет возрастать быстрее, чем функция y=x². lim αˣ = ∞ (α>1; к>0) lim logₐx = 0. x→∞ xᵏ x→∞ xᵏ

Кадр 29

График функции y=sinx. График функции y=cosx.

Кадр 30

График функции y = tgx. График функции y = ctgx.

Кадр 31

Гармонические колебательные движения различной частоты. Гармонические колебательные движения с различной амплитудой, но с одной и той же частотой и фазой.

Кадр 32

Гармонические колебательные движения с различнымы фазами.

Кадр 33

Сложение двух колебаний, отличающихся друг от друга по частоте в три раза (y=sinx; y=⅓sin3x). Сложение двух колебаний различной частоты, отличающихся по фазе на π.

Кадр 34

Графики функций: — y = sin x, — y = sin² x, — y = sin³ x.

Кадр 35

Графики функций: — y=sin x, — y=|sin x|.

Кадр 36

График функции y=sinx² (кривая Френеля). Область определения функции — всё множество действительных чисел. Область изменения функции — сегмент [-1; 1]. Функция чётная. Корни функции x=± √πk K=0; ±1; ±2…

Кадр 37

График функции y = sin x. Функция y = sin x определена при всех действительных значениях x, кроме x=0. Так как lim x→0 sin x / x = 1, то в точке x=0 функция имеет устранимый разрыв.

Кадр 38

Функция y=arcsinx, обратная функции y=sinx. Определена на сегменте [-1; +1]. Область изменения – сегмент [-π/2; π/2]. Функция y=arcsin x – возрастающая, нечётная: arcsin(-x) = -arcsinx.

Кадр 39

Функция y=arccos x, обратная функции y=cos x. Определена на сегменте [-1; +1]. Область изменения – сегмент [0; π]. Функция убывающая. Она не чётная и не нечётная arccos (-x)=π – arccos x.

Кадр 40

y=arctgx функция, обратная функции y=tg x. Область определения функции – всё множество действительных чисел -∞ <x<+∞. Область изменения функции – интервал (-π/₂:+π/₂). y=arctg x – функция возрастающая, нечётная arctg (-x)=-arctgx.

Кадр 41

y = arcctg x функция, обратная функции y = ctg x. Область определения функции—всё множество действительных чисел. Область изменения функции—интервал (0; π). y = arcctg x функция убывающая.

Кадр 42

КОНЕЦ Автор И. Б. Вейцман Чертежи и оформление С. Н. Рогова Редактор Л. Б. Книжникова Д-170-68 Студия «Диафильм», 1968 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30

Кадр 43

По заказу Министерства просвещения РСФСР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Диафильм по математике для средней школы