Векторы на плоскости

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР Векторы НА ПЛОСКОСТИ Диафильм по математике для средней школы

Кадр 2

Изучая математику и физику, вам не раз приходилось сталкиваться с так называемыми векторными величинами — со скоростью и ускорением движения, с силой взаимодействия электрических зарядов, с силой тяжести и другими. Векторы играют большую роль не только в математике и физике, но и в других точных науках.

Кадр 3

Фрагмент 1 Вектор. Равенство векторов. Ноль вектор

Кадр 4

Перемещение на плоскости точки А в точку В (рис. 1) характеризуется длиной отрезка АВ (рис. 2) и его направлением (рис. 3).

Кадр 5

Направленный отрезок называется ВЕКТОРОМ. Точка А – начало, а точка В – конец вектора. При обозначении вектора существенную роль играет порядок букв.

Кадр 6

Вектор, длина которого равна нулю, называют НОЛЬ ВЕКТОРОМ. Назовите векторы, изображённые на рисунке.

Кадр 7

Векторы, принадлежащие одной и той же прямой или параллельным прямым, называются КОЛЛИНЕАРНЫМИ. Дайте характеристику различным парам векторов.

Кадр 8

Векторы m и n лежат на параллельных прямых и в одной и той же полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала. Говорят, что такие векторы СОНАПРАВЛЕНЫ.

Кадр 9

Векторы р̄ и q̄ также лежат на параллельных прямых, но в разных полуплоскостях относительно прямой, проходящей через их начала. Такие векторы называются ПРОТИВОНАПРАВЛЕННЫМИ.

Кадр 10

Два вектора называют РАВНЫМИ, если: 1) равны их длины; 2) векторы сонаправлены.

Кадр 11

Два вектора называют ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ, если: 1) равны их длины; 2) векторы противоположны.

Кадр 12

Назовите равные, противоположные и неравные векторы.

Кадр 13

От каждой точки плоскости можно отложить только один вектор, равный данному вектору.

Кадр 14

Фрагмент 2 Сложение векторов. Коммутативность сложения

Кадр 15

Перемещение точки 0 в точку M по ломаной OKM, составленной из двух векторов ӑ и Ĉ, можно заменить одним перемещением по отрезку OM.

Кадр 16

Вектор ОМ, замыкающий ломаную ОКМ, составленную из векторов а и с, называют СУММОЙ ВЕКТОРОВ а и с.

Кадр 17

Сумма двух векторов не зависит от порядка их сложения. Диагональ параллелограмма, вектор OM, выражается суммой ā+č из треугольника OKM и одновременно суммой Č+ā из треугольника ОСM.

Кадр 18

Решим задачу. Собственная скорость движения лодки — вектор ῡ. Скорость течения реки — вектор ⃑. Найдите скорость движения лодки, пересекающей реку, и действительное направление её движения.

Кадр 19

Скорость движения лодки — сумма векторов ā и ḃ.

Кадр 20

Направление движения лодки определяется направлением результирующего вектора ā + ḃ. Лодка достигнет противоположного берега в точке Р. В каком направлении нужно было ей двигаться, чтобы причалить к точке К?

Кадр 21

Фрагмент 3 Сумма нескольких векторов. Ассоциативность сложения

Кадр 22

Перемещение точки О в точку С по ломаной линии ОАВС можно заменить перемещением по отрезку ОС. Вектор ОС, замыкающий эту ломаную, называют суммой векторов ā, ь и с.

Кадр 23

При сложении трёх векторов можно к сумме двух первых прибавить третий вектор. Сумма трёх векторов — вектор, замыкающий ломаную ОВС.

Кадр 24

Вектор ОС будет также замыкать и ломаную ОАС. Для суммы векторов справедлив сочеитательный закон.

Кадр 25

Если при сложении нескольких векторов окажется, что начало первого совпадает с концом последнего, то сумма этих векторов — ноль вектор.

Кадр 26

Фрагмент 4 Вычитание векторов

Кадр 27

РАЗНОСТЬЮ двух векторов а и b называется третий вектор с, который в сумме с вектором b даёт вектор а.

Кадр 28

Разность векторов ā и 𝑏 можно заменить суммой вектора ā с вектором -𝑏 (вектором, противоположным вычитаемому).

Кадр 29

Если диагональ параллелограмма — вектор ОА — есть сумма векторов а и b, то диагональ, соединяющая концы этих векторов, есть их разность. Вектор разности направлен от вычитаемого к уменьшаемому.

Кадр 30

Фрагмент 5 Умножение вектора на число

Кадр 31

Вектор ĀВ получен в результате сложенія трёх равных векторов или умноженія вектора ā на число 3.

Кадр 32

Вектор MP получен путём умножения вектора ā на число ⅓. На какое число надо умножить вектор ā, чтобы получить вектор -ā; -3ā; 2,5ā?

Кадр 33

Произведением вектора ā на число m называется новый вектор, имеющий длину |ā|·m, сонаправленный с вектором ā , если m>0, и противонаправленный, если m<0.

Кадр 34

При умножении вектора на число выполняется равенство (m+n)·ā=mā+nā , а также ис пользуется распределительное свойство произведения суммы векторов на число (например число 3).

Кадр 35

Используя векторы, докажем, что средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне и равна её половине (рис. 1). Вектор СА равен сумме векторов ā и 𝑏 (рис. 2). М и N — середина сторон треугольника.

Кадр 36

В треугольнике MBN вектор MN равен половине суммы векторов ā и b. Векторы NM и CA отличаются только числовым множителем, следовательно, они параллельны.

Кадр 37

Фрагмент 6 Проекция вектора на ось. Координаты вектора

Кадр 38

Прямая линия, на которой задано направление и единица длины, называется ОСЬЮ. Вектор, имеющий длину, равную единице, и направление, совпадающее с направлением оси, называется ЕДИНИЧНЫМ.

Кадр 39

Точки А₁ и В₁ – проекции точек А и В на ось. Длину отрезка А₁В₁ называют АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЕЙ вектора АВ на ось. Проекция вектора на ось считается ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ, если вектор А₁В₁ и ось е – сонаправлены.

Кадр 40

Можно доказать, что вектор C₁D₁ равен произведению проекции вектора CD – числа „к“ на единичный вектор. Вектор C₁D₁ называют ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ проекцией вектора CD на ось l.

Кадр 41

Вектор СD перпендикулярен к оси. Что можно сказать о его проекции на ось? Вектор АВ₁ противопонаправлен вектору В. В этом случае проекция вектора АВ₁ на ось считается ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ.

Кадр 42

Если АВ=CD, то пр_lАВ=пр_lCD Проекции равных векторов равны между собой.

Кадр 43

Проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых.

Кадр 44

Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора на ось.

Кадр 45

Алгебраическии проекции вектора на координатные оси называются КООРДИНАТАМИ вектора в данной системе XOY.

Кадр 46

Можно доказать, что координаты суммы векторов в системе ХОУ равны сумме координат слагаемых.

Кадр 47

Любой вектор может быть разложен по осям координат на два слагаемых вектора, которые называюм компонентами данного вектора.

Кадр 48

Применение векторов значительно облегчает решение многих математических задач и доказательства теорем.

Кадр 49

Конец Автор А. М. Пышкало Консультант кандидат педагогических наук А. И. Фетисов Редактор Л. Б. Книжникова Чертежи Г. Г. Рожковского Художник-оформитель Г. Г. Рожковский Д-211-65 Студия „Диафильм“, 1965 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30