Тригонометрические функции

Кадр 1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Диафильм по математике для IX класса

Кадр 2

Заполните таблицу. Укажите на единичной окружности точку Pα для значений α, приведенных в таблице.

Кадр 3

Назовите несколько поворотов, отображающих точку P₀ на точку А; на точку В.

Кадр 4

Для каждого действительного числа t найдется точка P₁=R¹(P₀) единичной окружности. Назовите несколько действительных чисел, соответствующих точке P₀; P₁. Скольким действительным числам соответствует каждая точка единичной окружности?

Кадр 5

Укажите несколько действительных чисел, которые соответствуют выделенным точкам.

Кадр 6

Какие значения могут принимать α и β, если Pα=C, Pβ=D? Укажите точку Ру, если γ=⅓π; 2⅓π; -¼π; -4¼π.

Кадр 7

Определение. Ордината точки Pα=Rα(P₀) называется синусом числа α, а абсцисса этой точки — косинусом α. Докажите, что 1) sinπ/4=cosπ/4 2) sinπ/6=1/2, 3) cosπ/2=0.

Кадр 8

Сопоставив каждому числу t его синус или косинус, получим функции: f(t)=sin t и g(t)=cos t. Найдте область значений и область определения каждой функции. Могут ли эти функции принимать значения: -⅓; ⁴⁄₅; 1; √2; ⁵⁄₂; ⁴⁄₂

Кадр 9

Объясните, как получены значения синуса и косинуса, указанные в таблице.

Кадр 10

Используя осевые и центральную симметрии окружности, заполните таблицу.

Кадр 11

Докажите, что для любого α, sin²α+cos²α=1. Упростите с помощью доказанного тождества выражения: а) 1-sin²α, б) (sin x + cos x)² - 2sinxcos x.

Кадр 12

Заполните таблицу. При каких значениях α не существует tgα: ctgα?

Кадр 13

Какая область определения у тангенса; у котангенса?

Кадр 14

tgα·ctgα=1 Для каких значений α справедливо это равенство? Как из него получить равенства: а) tgα= 1 , б) ctgα= 1 ? ctgα tgα

Кадр 15

Используя подобие треугольников OMP₀ и OPaE, докажите, что IP₀M=tgα. Прямую P₀M называют линией тангенсов. При каких значениях α прямая OPa не пересекает линию тангенсов?

Кадр 16

Докажите, что |Pπ/2N|=ctgα.Прямую Pπ/2N называют линией котангенсов. При каких значениях α прямая OPα не пересекает линию котангенсов?

Кадр 17

Заполните таблицу.

Кадр 18

Зная, в какой четверти находится Pα, можно определить знак sinα и cosα. Определите знаки: sin(π/4); sin(5π/4); cos(π/4); cos(-π/6); cos(7π/8).

Кадр 19

В каких четвертях синус положителен; косинус отрицателен; синус и косинус имеют одинаковые знаки? В каких четвертях тангенс положителен; котангенс отрицателен?

Кадр 20

Какой знак имеет каждая тригонометрическая функция, если ее аргумент равен: α; β; γ; δ?

Кадр 21

Функция f — четная ↔ x∈D(f) ⇔ -x∈D(f) и f(-x)=f(x) Функция f — нечетная ↔ x∈D(f) ⇔ -x∈D(f) и f(-x)=-f(x) Докажите, что функция x² — четная; 1/x — нечетная; x+1 не является ни четной, ни нечетной.

Кадр 22

Какие из данных функций являются четными; нечетными?

Кадр 23

Докажите, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Докажите, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Кадр 24

Докажите, что косинус—четная функция, а синус, тангенс и котангенс—нечетные функции.

Кадр 25

Какие из данных функций являются четными; нечетными; не являются ни четными, ни нечетными?

Кадр 26

Докажите, что функция y={x} является периодической. Докажите, что убывающая функция не является периодической.

Кадр 27

Теорема. Функции синус, косинус, тангенс и котангенс являются периодическими. Докажите эту теорему.

Кадр 28

Наименьший положительный период синуса и косинуса—число 2π, а тангенса и котангенса—число π. Если То₀—наименьший положительный период, то все периоды кратны То₀.

Кадр 29

Докажите, что верны равенства:

Кадр 30

Какие из данных функций являются периодическими и какой у каждой из них наименьший положительный период?

Кадр 31

Для любых значений α и β верна формула cos(α+β)=cosαcosβ–sinαsinβ. Используя эту формулу, докажите, что cos(α–β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ.

Кадр 32

Пользуясь формулой, вычислите: cos (π/2 + π/6) cos (-π/2 + π/4) Упростите: cos (π + α) cos (π - α) cos (π/2 + α) cos (π/2 - α)

Кадр 33

К сведению учителя Диафильм составлен в соответствии с учебником «Алгебра и начала анализа 9–10» 1980 года. Он предназначен, в основном, для демонстрации при изложении нового материала. Его содержание: радианная мера угла, определения и свойства тригонометрических функций числового аргумента, теорема сложения. Материал разбит на фрагменты в соответствии с пунктами учебника. Конец каждого фрагмента отмечен знаком ▲. При демонстрации диафильма желательно не ограничиваться вопросами, приведенными в кадре: зрительный ряд большинства кадров позволяет ставить и другие вопросы.

Кадр 34

КОНЕЦ Диафильм сделан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор Г. МУРАВИН Консультант Ю. ГЛАЗКОВ Художник-оформитель В. ЕРМОЛАЕВА Редактор В. ЧЕРНИНА © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1982 г. 101 000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 Д-149-82