Подобие в пространстве

Кадр 1

ПОДОБИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Кадр 2

К СВЕДЕНИЮ УЧИТЕЛЯ. Диафильм можно использовать при изучении многогранников и тел вращения (фрагментарно) или на повторительно-обобщающем уроке (целиком). Например, начало диафильма (до 16 кадра) можно рассмотреть сразу после теоремы о плоскости, пересекающей пирамиду параллельно её основанию.

Кадр 3

Возможны два варианта подхода к понятию подобия в пространстве: а) учитель даёт общее определение этого понятия, и тогда утверждения из кадров 6, 27 и 32 являются теоремами; б) общее определение не даётся, и тогда указанные утверждения служат определениями частных случаев подобия в пространстве. Отметим важность теоремы I (кадры 7–15). Это теорема существования подобных многогранников.

Кадр 4

Ответы. К. 25. Теоремы, обратные теоремам 2 и 3, неверны. К. 36. 1) в 2 раза, 2) в 4 раза, 3) в 8 раз. К. 38. 0,1 мм · 144³≈300 м. К. 39. 0,25 л. К. 40. 20 см. √2

Кадр 5

I. ПОДОБИЕ МНОГОГРАННИКОВ

Кадр 6

Два многогранника ПОДОБНЫ, если они имеют: 1) соответственно ПОДОБНЫЕ грани, 2) соответственно РАВНЫЕ многогранные углы.

Кадр 7

Возьмём пирамиду QABCDE.

Кадр 8

Проведём секущую плоскость A₁B₁C₁D₁E₁ параллельно основанию ABCDE.

Кадр 9

Теорема 1. Если в пирамиде QABCDE проведём секущую плоскость A₁B₁C₁D₁E₁ параллельно основанию ABCDE, то отсечём от неё пирамиду QA₁B₁C₁D₁E₁, подобную данной.

Кадр 10

Знак подобия — ~ — повернутая латинская буква S (латинское similis — подобный).

Кадр 11

Докажите на основании определения пирамиды, что QA₁B₁C₁D₁E₁ — пирамида.

Кадр 12

Теперь докажем, что QA₁B₁C₁D₁E₁ и QABCDE. ΔA₁QB₁∽ΔAQB ΔB₁QC₁∽ΔBQC .................. ΔE₁QA₁∽ΔEQA

Кадр 13

ABCDE ᔕ A₁B₁C₁D₁E₁

Кадр 14

∠Q—общий для обеих пирамид. ∠A₁=∠A ∠B₁=∠B ∠C₁=∠C ∠D₁=∠D ∠E₁=∠E

Кадр 15

Итак, у пирамиды QABCDE и пирамиды QA₁B₁C₁D₁E₁ 1) соответственные грани подобны, 2) соответственные многогранные углы равны. Значит, QA₁B₁C₁D₁E₁∽QABCDE

Кадр 16

Известно, что плоскость, пересекающая пирамиду параллельно основанию, делит её боковые рёбра и высоту на пропорциональные части. Поэтому у двух подобных пирамид отношения высот и сходственных боковых рёбер равны. Обозначим эти отношения через k (коэффициент подобия). QO QA QB QC QD = k QO₁ QA₁ QB₁ QC₁ QD₁ Докажите, что AB BC CD DA = k A₁B₁ B₁C₁ C₁D₁ D₁A₁

Кадр 17

Теорема II. У подобных пирамид отношение поверхостей равно квадрату отношения сходственных рёбер (квадрату коэффициента подобия). Дано: QABCD ∽ Q₁A₁B₁C₁D₁ L и l—длины двух рёбер. Требуется доказать: SAQB + … + SABCD = (L/l)² SA₁Q₁B₁ + … + SA₁B₁C₁D₁ (l/l)²k²

Кадр 18

Доказательство. Так как по условию QABCD ∽ Q₁A₁B₁C₁D₁, то: ΔAQB ∽ ΔA₁Q₁B₁ ΔBQC ∽ ΔB₁Q₁C₁ ΔCQD ∽ ΔC₁Q₁D₁ ΔDQA ∽ ΔD₁Q₁A₁ ABCD ∽ A₁B₁C₁D₁

Кадр 19

Зная, что отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон или квадрату коэффициента подобия и что у подобных пирамид отношения сходственных сторон равны, получим SAQB SA₁Q₁B₁ = SABCD SA₁B₁C₁D₁ = (L/l)²=k², откуда SAQB +..+SABCD SA₁Q₁B₁ +..+SA₁B₁C₁D₁ = (L/l)²=k²

Кадр 20

Теорема III. Отношение объёмов подобных пирамид равно кубу отношения сходственных рёбер (кубу коэффициента подобия). Дано: QABCDEF ~ Q₁A₁B₁C₁D₁E₁F₁ Требуется доказать: V_QABCDEF / V_{Q₁A₁B₁C₁D₁E₁F₁} = (L/l)³

Кадр 21

Доказательство. Вложим пирамиду QA₁B₁C₁D₁E₁F₁ в пирамиду QABCDEF так, чтобы у них совпали равные многогранные углы Q и Q₁ и основания стали бы параллельными.

Кадр 22

VQABCDEF = VQA₁B₁C₁D₁E₁F₁ = SABCDEF · ⅓QO = SA₁B₁C₁D₁E₁F₁ · ⅓QO₁. Следовательно, VQABCDEF = VQA₁B₁C₁D₁E₁F₁ = SABCDEF · QO = SA₁B₁C₁D₁E₁F₁ · QO₁.

Кадр 23

Зная, что площади сечения и основания относятсяся, как квадраты их расстояний от вершины, т.е.

Кадр 24

Справедлива теорема IV. Два подобных многогранника могут быть разложены на соответственно подобные пирамиды с одним и тем же коэффициентом подобия.

Кадр 25

Значит, теоремы II и III справедливы для любых многогранников. Сформулируйте эти теоремы в общем виде. Сформулируйте обратные теоремы. Верны ли они?

Кадр 26

II. ПОДОБИЕ ЦИЛИНДРОВ И КОНУСОВ

Кадр 27

Два цилиндра (конуса) подобны, если они произошли от вращения подобных прямоугольников (прямоугольных треугольников) вокруг сходственных сторон.

Кадр 28

Теорема V. Отношение боковых поверхностей подобных цилиндров (конусов) равно квадрату коэффициента подобия. Докажите аналогичную теорему для подобных конусов.

Кадр 29

Теорема VI. Отношение полных поверхностей подобных цилиндров (конусов) равно квадрату коэффициента подобия. Докажите аналогичную теорему для подобных конусов.

Кадр 30

Теорема VII. Отношение объёмов подобных цилиндров (конусов) равно кубу коэффициента подобия. Докажите аналогичную теорему для подобных конусов.

Кадр 31

III. ПОДОБИЕ ШАРОВ

Кадр 32

Все шары подобны между собой. R₁ = k (коэффициент подобия) R₂

Кадр 33

Теорема VIII. Отношение поверхностей шаров равно квадрату коэффициента подобия.

Кадр 34

Теорема IX. Отношение объёмов шаров равно кубу коэффициента подобия.

Кадр 35

IV. ЗАДАЧИ

Кадр 36

Диаметр одного глобуса 20 см, а диаметр другого — 40 см. 1) Во сколько раз длина меридиана большего глобуса больше длины меридиана меньшего глобуса? 2) Во сколько раз площадь острова Гренландия на большом глобусе больше площади этого острова на малом глобусе? 3) Во сколько раз объём большего глобуса больше объёма меньшего глобуса?

Кадр 37

Известно, что Гулливер в 12 раз больше лилипута, но во столько же раз меньше великана и что они подобны. 1). Если Гулливер имел рост 180 см, то каким был рост лилипута и великана? 2). Во сколько раз лилипут меньше великана?

Кадр 38

3). Когда лилипут купался, то уровень воды в бассейне поднялся на 0,1 мм. На сколько поднимется уровень воды в этом же бассейне, если будет купаться великан?

Кадр 39

В сосуд высотой 20 см вмещается 2 литра воды. Сосуд наполнили до половины высоты. Сколько в нём воды?

Кадр 40

В этот же сосуд налили один литр воды. Каков уровень воды?

Кадр 41

КОНЕЦ По заказу Министерства просвещения РСФСР Диафильм по математике для 10 класса Автор Э. КРАСС Консультант Г. ЛЕВИТАС Художник И. БУЛАТОВА Редактор В. ЧЕРНИНА Студия «Диафильм», 1969 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 д-338-69 Цветной 0-30

Кадр 42

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Диафильм по математике для IX (X) классов

Кадр 43

ПОДОБИЕ и ГОМОТЕТИЯ