Арифметическая прогрессия

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ Диафильм по математике для 8 класса

Кадр 2

Фрагмент 1. Определение арифметической прогрессии

Кадр 3

Пусть имеется функция y=f(x), определённая во всех натуральных точках (а также, быть может, и в других точках). Взяв её значения в натуральных точках: a₁=f(1), a₂=f(2), a₃=f(3), ..., aₙ=f(n),... мы получим числовую последовательность a₁, a₂, a₃, ..., aₙ,...

Кадр 4

Числовая последовательность может быть задана не только формулой вида aₙ = f(n), но и рекуррентной формулой.

Кадр 5

Последовательность, задаваемая рекуррентной формулой aₙ₊₁ = aₙ + d, где d — постоянное число, называется арифметической прогрессией (латинское progressio — движение вперёд). Число d называется разностью арифметической прогрессии, сама прогрессия обозначается значком ÷. Укажите в данных примерах арифметические прогрессии. 1) aₙ₊₁ = aₙ + 6, a₁ = 3; 3, 9, 21, 39, … 2) aₙ₊₁ = aₙ - 6, a₁ = 3; 3; -3; -9; -15; … 3) aₙ₊₁ = aₙ : 6, a₁ = 3; 3, ½, ¹/₁₂, ¹/₇₂ … 4) aₙ₊₁ = aₙ + 6, a₁ = 3; 3, 9, 15, 21, … 5) aₙ₊₁ = aₙ, a₁ = 3; 3, 3, 3, 3, … 6) aₙ₊₁ = поₙ + 6, a₁ = 3; 3, 9, 24, 78, …

Кадр 6

В каких примерах данные числа могут быть первыми членами арифметических прогрессий? Укажите их рекуррентные формулы.

Кадр 7

Фрагмент 2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Кадр 8

Пусть в арифметической прогрессии известен первый член а₁ и разность d. Так как aₙ₊₁ = aₙ + d, то можно найти все члены, начиная со второго, следующим образом:

Кадр 9

Точки, изображающие три члена одной и той же арифметической прогрессии, лежат на прямой.

Кадр 10

Арифметическая прогрессия является линейной функцией аргумента.

Кадр 11

Если d > 0, то арифметическая прогрессия возрастает. Если d < 0, то арифметическая прогрессия убывает. Если d = 0, то арифметическая прогрессия постоянна.

Кадр 12

Могут ли у арифметической прогрессии встретиться такие члены?

Кадр 13

Длины сторон квадратов образуют арифметическую прогрессию. Образуют ли арифметическую прогрессию их 1) периметры; 2) диагонали; 3) площади?

Кадр 14

Формула общего члена арифметической прогрессии включает четыре величины: a₁, d, n и aₙ. Любую из них можно вычислить, если известны три другие.

Кадр 15

Каждый член арифметической прогрессии представляет собой среднее арифметическое его соседних членов (исключение представляет первый член, а у конечной прогрессии ещё и последний член).

Кадр 16

У конечной прогрессии α₁, α₂, α₃..., αₓ..., αₙ₋ₖ+¹, ..., αₙ₋₂, αₙ₋₁ αₙ суммы членов, равноотстоящих от её концов, равны между собой и равны сумме крайних членов.

Кадр 17

1) Случай чётного n αк + αn - к+1 = α₁ + α₄ 2) Случай нечётного n

Кадр 18

По преданию, Карл Гаусс — крупнейший немецкий математик — почти мгновенно решил эту задачу, когда ему было меньше 10 лет.

Кадр 19

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Кадр 20

Сумма первых n членов арифметической прогрессии обозначается символом Sₙ. Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ₋₂ + aₙ₋₁ + aₙ Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + ... + a₃ + a₂ + a₁ 2Sₙ ÷ 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... S₄ = 2 + 3 + 4 + 5 S₅ = 5 + 4 + 3 + 2 2S₄ = (2 + 5) · 4

Кадр 21

Кадр 22

Формулы αₙ и Sₙ содержат пять величин: . . . и . . . Систему из двух уравнений можно решить, зная, чему равны три из этих пяти величин.

Кадр 23

Используя систему из двух уравнений, решите следующие задачи: 1) Сколько мест в десятом ряду амфитеатра? 2) Сколько всего мест в амфитеатре? Можно ли решить вторую задачу, не решая первой?

Кадр 24

Если в формуле Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 вместо aₙ подставить его выражение через a₁ и d, то после преобразований получим другую формулу для суммы n членов арифметической прогрессии Sₙ = (2a₁ + (n - 1) d) / 2

Кадр 25

Преобразуя полученную формулу Sₙ = — 2a₁ + d (n-1) — dₙ² / 2 = n + (a₁ — 2). где Sₙ квадратичная функция от n с нулевым свободным членом (при d≠0), мы получим новую формулу Sₙ = dₙ² / 2 + n (a₁ — 2). Найдите арифметическую прогрессию, если Sₙ = n². a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁ = Sₙ₋₁ a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁ + aₙ = Sₙ. aₙ = Sₙ — Sₙ₋₁ причём a₁ = S₁. Закончите решение задачи.

Кадр 26

А здесь самостоятелно найдите арифметические прогрессии по их Sₙ.

Кадр 27

К сведению учителя. Сформулируйте перед учащимися требование о необходимости указания первого члена при рекуррентном задании последовательности (к. 4). Координатную плоскость можно использовать для построения графиков данных последовательностей при проецировании к. 6. Утверждение, содержащееся в к. 9, можно доказать, исходя из равенства прямоугольных треугольников. Для доказательства теоремы, данной в к. 10, достаточно воспользоваться определением монотонной последовательности. В к. 12 есть чертёж, который используется для нанесения точек на координатную плоскость. Если эти точки расположены на одной прямой, то данные числа могут встретиться в арифметической прогрессии.

Кадр 28

В к. 14 неизвестные величины можно вычислить по формулам: 1) aₙ = a₁ + (n-1) d; 2) n = aₙ-a₁ / d; 3) d = aₙ-a₁ / n-1; 4) a₁ = aₙ - (n-1) d. В к. 17 при нечётном n желательно показать, что a₅ = (a₁ + a₉) / 2. Поэтому a₅ + a₅ = a₁ + a₉ (здесь n=9, k=5). В к. 22 неизвестные величины можно вычислить по формулам: 1) d = aₙ-a₁ / n-1; 2) n = 2Sₙ / a₁ + aₙ; 3) aₙ = 2Sₙ / n - a₁; 4) a₁ = Sₙ / n - aₙ; 5) a₁ = aₙ - (n-1) d.

Кадр 29

ОТВЕТЫ Кадр 5. Примеры 2; 4; 5 — арифметические прогрессии. Кадр 6. Последовательности 1; 3; 5; 6; 7; 8; 10 — арифметические прогрессии. Их рекуррентные формулы: 1) aₙ₊₁ = aₙ; a₁ = 0; 3) aₙ₊₁ = aₙ + 1; a₁ = 1; 5) aₙ₊₁ = aₙ; a₁ = 1/2 (1/2 = 2/2 = 222); 6) aₙ₊₁ = aₙ + 2; a₁ = 3; 7) aₙ₊₁ = aₙ; a₁ = 6/25 (6/25 = 0.24 = 12/50); 8) aₙ₊₁ = aₙ + 2; a₁ = 2; 10) aₙ₊₁ = aₙ + √2; a₁ = √2. Кадр 12. Могут в случаях 1; 2; 4; 5; 7; 8.

Кадр 30

Кадр 13. Периметры и диагонали образуют арифметическую прогрессию, а площади — нет. Кадр 14. 1) aₙ=28; 2) n=5; 3) d=√2; 4) a₁=3. Кадр 18. 1/2+100⋅100=5050. Кадр 22. 1) Sₙ=33, d=1,4; 4) a₁=1; d=2; 2) n=10; d=-5/9; 5) aₙ=11; Sₙ=35; 3) aₙ=-2,5; d=-5/48; 6) a₁=7; Sₙ=-20. Кадр 23. 1) a₁₀=24; 2) S₁₀=150; 3) Можно. a₁₀=a₁+9d. Кадр 26. 1)÷ 2, 4, 6, … 2)÷ -1, 0, 1, … 3)÷ -3, -5, -7, …

Кадр 31

Конец Автор Э. Ю. КРАСС Художник-оформитель Н. П. ДУНАЕВА Редактор Л. Б. КНИЖНИКОВА Студия «Диафильм», 1972 г. Москва, 101000. Старосадский пер., д. №7 Д-042-72 Цветной 0-30