Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

Кадр 1

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

Кадр 2

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Кадр 3

В пространстве через одну точку можно провести бесконечное множество прямых; через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.

Кадр 4

I.Взаимное расположение двух прямых.

Кадр 5

Какие прямые, проходящие через рёбра куба: а) пересекаются? б) параллельны? в) скрещиваются?

Кадр 6

Назовите рёбра пирамиды, которые: а) пересекаются; б) параллельны; в) скрещиваются.

Кадр 7

Укажите пары скрещивающихся рёбер в треугольной пирамиде.

Кадр 8

Задача 1. Через точку, не лежащую на данной прямой, провести в пространстве прямую, параллельную данной прямой. Дано: A ∉ a Провести прямую b: A ∈ b; b || a.

Кадр 9

Проведём плоскость α:(A; a)⊂α. В плоскости α построим прямую b:A∈b; b||a. b—искомая прямая. Сколько решений имеет задача?

Кадр 10

Задача 2. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, провести прямую, скрещивающуюся с данной прямой. Дано: A ∉ a Провести прямую b: b ∩ a; A ∈ b.

Кадр 11

Проведём: плоскость α, (A; a)⊂α; прямую b: b ∩α=A. b—искомая прямая. Сколько решений имеет задача?

Кадр 12

Решений бесконечное множество.

Кадр 13

II. Признак параллельности прямой и плоскости.

Кадр 14

Каким плоскостям принадлежат прямые AB, A₁D₁, C₁C? Каким плоскостям эти прямые параллельны? Почему?

Кадр 15

В правильной четырёхугольной пирамиде через ребро CD проведены плоскости, пересекающие противоположную грань. Какую форму имеют сечения?

Кадр 16

Задача 1. Через точку А, не лежащую в данной плоскости, провести прямую, параллельную данной плоскости. Дано: A∉α Провести прямую a||α; A∈a.

Кадр 17

Проведём: 1. b⊂α; 2. (A;b)⊂β; 3. a || b; A ∈ α; a⊂β. Прямая а—искомая. Сколько решений имеет задача?

Кадр 18

Решений бесконечное множество.

Кадр 19

Задача 2. KABCD—правильная четырёхугольная пирамида. Через точку М провести сечение плоскостью, параллельной DC и KC.

Кадр 20

Проведём: 1.в плоскости ABCD: D1C1 || DC; М∈D1C1; (почему?) 2.в плоскости KBC: C1B1 || KC; (почему?)

Кадр 21

3. в плоскости АВК проводим A₁B₁||D₁C₁; (почему?) 4. соединим точки A₁ и D₁. Сечение построено.

Кадр 22

Задача 3. Через данную прямую провести плоскость, параллельную другой данной прямой. Дано: a; b—прямые Провести плоскость α || b; a⊂α.

Кадр 23

I-й случай: а х b. α ∩ b = A; а = α β ∩ b = A; а = β γ ∩ b = A; а = γ Решений нет.

Кадр 24

2-й случай: a || b. Решений бесконечное множество. a⊂α; α || b a⊂β; β || b a⊂γ; γ || b

Кадр 25

3-й случай: a λ b. Проведём: b₁ || b (A ∈ b₁; A ∈ a). (a x b₁) ⊂ α. α — искомая плоскость. Сколько решений имеет задача?

Кадр 26

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде провести сечение плоскостью, проходящей через его диагонали B₁D и параллельно диагонали основания AC.

Кадр 27

Проведём: 1. плоскость AA₁C₁C, B₁D ∩ AA₁C₁C = M. 2. EF || AC, M∈EF, (EF X B₁D) = α. α — секущая плоскость. B₁FDE — искомое сечение.

Кадр 28

1. α ∩ β = φ ⇒ α || β Плоскости параллельны. 2. А ∈ α; А ∈ β или (А; В) ∈ α ∩ β ↓ α ∩ β Плоскости пересекаются. 3. А, В, С — неколлинеарны (А; В; С) ∈ α ∩ β ⇒ α = β (или более) Плоскости совпадают. Взаимное расположение двух плоскостей.

Кадр 29

Признак параллельности двух плоскостей.

Кадр 30

Докажите параллельность противоположных граней прямоугольного параллелепипеда.

Кадр 31

При каком условии плоскость сечения A₁B₁C₁ будет параллельна плоскости основания?

Кадр 32

Задача 1. Через данную точку, не лежащую в данной плоскости, провести плоскость, параллельную данной плоскости. Дано: A ∉ α Провести α₁ || α; A ∈ α₁.

Кадр 33

Проведём: 1. а x b⊂l; 2. (A; a)⊂β; (A; b)⊂γ; 3. в плоскости β : a||a; A∈a₁; в плоскости γ: b||b; A∈b₁.

Кадр 34

Через a₁ x b₁ проведём плоскость ∠₁. Она и будет искомой. (Почему?) Сколько решений имеет задача?

Кадр 35

По построению α₁ || α; АС α. Предположим, что α₂ || α; АС α₂. Тогда 1. β ∩ α₁ = a₁ (А ∈ a₁) => a₁ || a. β ∩ α = a 2. β ∩ α₂ = a₂ (А ∈ a₂) => a₂ || a. β ∩ α = a что невозможно. Итак, решение единственное.

Кадр 36

Задача 2. В правильной треугольной пирамиде провести сечение через центр основания параллельно боковой грани.

Кадр 37

Проведём: 1. в плоскости ABC EF || BC; O ∈ EF; 2. в плоскости AMD OK || MD; (OK × EF)⊂ 𝑙. 𝑙 — секущая плоскость. ΔEKF — искомое сечение.

Кадр 38

Задача 3. Провести параллельные плоскости, содержащие две данные скрещивающиеся прямые. Дано: a ∧ b Провести: α || β; a⊂α; b⊂β.

Кадр 39

Проведём: 1. a || a; a x b; (a; b) = β. 2. b₁ || b; b₁ x a; (b₁; a) = d. a λ b; a⊂α; b⊂β; α || β. Сколько решений имеет задача?

Кадр 40

Диафильм сделан по заказу Министерства просвещения РСФСР к урокам математики в 9 классе КОНЕЦ Автор А. Михайловская Консультант К. Муравин Художник-оформитель Н. Дунаева Редактор В. Чернина Студия «Диафильм», 1971 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30 Д-203-71

Кадр 41

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ AB⊥BC AA₁⊥α α⊥β Математика, X кл.

Кадр 42

ПОДОБИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

Кадр 43

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ