Многогранники и их объемы

Кадр 1

МНОГОГРАННИКИ И ИХ ОБЪЕМЫ Диафильм по математике для X класса

Кадр 2

Двугранный угол. Если bc α, b₁a, ccβ, c₁a, то (bc)—линейный угол. Его мера называется мерой двугранного угла. α, β—грани, а—ребро. Объясните, почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла (если b₁c α, b₁a, c₁cβ, c₁a, то ∠(b₁c₁)=∠(bc)).

Кадр 3

Трехгранный угол (abc). (ab), (bc), (ac)—грани, a, b, c—ребра, S—вершина. Подумайте, как можно дать определение четырехгранного угла; пятигранного угла.

Кадр 4

Это тело — многогранник: его поверхность состоит из конечного числа многоугольников. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону плоскости каждого из многоугольников на его поверхности. А является ли этот многогранник выпуклым?

Кадр 5

Какие многогранники есть на этом рисунке? Назовите вершины, ребра, грани изображенного многогранника. Является ли он выпуклым?

Кадр 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Призма—это многогранник, состоящий из двух многоугольников (оснований), совмещающихся параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки оснований. Докажите, что у призмы: 1) основания равны и лежат в параллельных плоскостях; 2) боковые ребра параллельны и равны.

Кадр 7

Объясните, почему боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов.

Кадр 8

Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований. Диагональ призмы соединяет две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональное сечение призмы проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани.

Кадр 9

Прямые призмы: боковые ребра перпендикулярны основаниям. Правильная призма: основания — правильные многоугольники. Наклонная призма. Докажите, что в прямой призме боковые ребра равны высоте.

Кадр 10

Какие многоугольники на рисунке служат развертками 1) прямых призм; 2) правильных призм?

Кадр 11

ТЕОРЕМА. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра (P) основания на высоту (h) призмы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Боковые грани— … . 2. Боковые ребра равны … . 3. Площадь боковой грани равна … . 4. Боковая поверхность равна … . ? Закончите доказательство.

Кадр 12

ЗАДАЧА. αIAA₁. P — периметр сечения A₂B₂C₂D₂E₂. Докажите, что Sбок. = AA₁ • P.

Кадр 13

ЗАДАЧА. Постройте сечение данной призмы, проходящее через ребро BC и вершину A₁.

Кадр 14

ПРОВЕРЬТЕ СВОЕ РЕШЕНИЕ. 1. Проведем прямую ВА₁ в плоскости А₁В₁ВА. 2. Проведем прямую СА₁ в плоскости А₁С₁СА. 3. Δ А₁ВС – искомое сечение.

Кадр 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параллелепипедом называется призма, основания которой — параллелограммы. 1. Найдите на рисунке параллелепипеды. 2. Докажите, что все грани параллелепипеда — параллелограммы.

Кадр 16

ТЕОРЕМА. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что грани ABB₁A₁ и CDD₁C₁ параллельны и равны. 1. AB||A₁B₁, A₁B₁||C₁D₁, C₁D₁||CD. Грани ABB₁A₁ и CDD₁C₁ параллельны. 2. AB=A₁B₁=C₁D₁=CD; AB||A₁B₁||C₁D₁||CD. Грани ABB₁A₁ и CDD₁C₁ совмещаются параллельным переносом. Грани ABB₁A₁ и CDD₁C₁ равны. Объясните каждый шаг доказательства.

Кадр 17

ТЕОРЕМА. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. A₁B₁||CD. 2. A₁B₁ и CD лежат в одной плоскости. 3. A₁C₁||B₁C. A₁B₁CD—параллелограмм. A₁C и B₁D пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обоснуйте каждый шаг приведенного рассуждения и объясните, почему этого рассуждения достаточно для доказательства теоремы.

Кадр 18

Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Кадр 19

Найдите прямые и прямоугольные параллелепипеды. Как называется прямоугольный параллелепипед с равными измерениями?

Кадр 20

TEOPEMA. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений. Докажите теорему.

Кадр 21

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пирамида—это многогранник, состоящий из плоского многоугольника, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника, и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника. Найдите на рисунке пирамиды. Назовите основание, вершину, боковые грани, боковые ребра, высоту пирамиды SABСDE.

Кадр 22

TEOPEMA. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду. ? Докажите теорему.

Кадр 23

Это – правильные пирамиды: основание – правильный многоугольник, основание высоты совпадает с центром многоугольника. Верно ли, что все боковые ребра правильной пирамиды равны? А боковые грани? Какой многоугольник служит разверткой правильной пирамиды?

Кадр 24

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из ее вершины, называется апофемой. Докажите следующую теорему. ТЕОРЕМА. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Кадр 25

ABCD A₁B₁C₁D₁ — усеченная пирамида. 0₀О — ее высота, ABCD и A₁B₁C₁D₁ — основания. Какую форму имеют боковые грани усеченной пирамиды?

Кадр 26

Из правильной пирамиды получается правильная усеченная пирамида. Обоснуйте для нее формулу: Sбок. = 1/2 (p + p₁) hбок. Вычислите Sбок. данной правильной усеченной пирамиды.

Кадр 27

Существует 5 выпуклых правильных многогранников. Тетраэдр Октаэдр Куб Икосаэдр Додекаэдр Какую форму имеют грани и сколько ребер сходится в каждой вершине этих многогранников?

Кадр 28

F—многоугольник, V(F)—его объем.

Кадр 29

Найдем объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, c, где a, b, c — конечные десятичные дроби с числом знаков после запятой не более n.

Кадр 30

Если длины ребер выражаются бесконечными десятичными дробями, их можно заменить приближенными значениями с любой наперед заданной точностью 1/10ⁿ (с недостатком и с избытком). Тогда объем будет заключен между объемами прямоугольных параллелепипедов, измерения которых — конечные десятичные дроби. Увеличивая точность приближения, приходим к выводу, что всегда: V = abc.

Кадр 31

Пользуясь формулой объема прямоугольного параллелепипеда, высчитите объемы данных многогранников.

Кадр 32

ABCD A₁B₁C₁D₁ — наклонный параллелепипед. Плоскость A₁B₁B₂A₂⊥ABCD, плоскость D₁C₁C₂D₂⊥ABCD. Докажите, что A₁B₁C₁D₁A₂B₂C₂D₂ — параллелепипед, имеющий тот же объем, ту же площадь основания и ту же высоту, что и данный параллелепипед.

Кадр 33

Таким же образом превратим параллелепипед А₁В₁С₁D₁A₂B₂C₂D₂, в параллелепипед А₃B₂C₂D₃B₁C₁C₃, являющийся прямым, а его — в прямоугольный параллелепипед. Объясните, почему ! объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Кадр 34

Найдём объём V треугольной призмы ABCA₁B₁C₁. Дополним призму до параллелепипеда с центром симметрии O. Тогда V=½ VᴀD₁. Объясните, почему объём этой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Кадр 35

Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Кадр 36

ЗАДАЧА. Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Кадр 37

Палатка имеет форму прямой призмы. Вычислите ее объем.

Кадр 38

Можно доказать, что объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. V=¹/₃SH Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD.

Кадр 39

SO=H. SO₁=H₁. SΔABC=Q. SΔA₁B₁C₁=Q₁. Вычислите объем каждого многогранника.

Кадр 40

Можно доказать, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. SO—высота, SM=MO, α||β. В каком отношении плоскость α делит объем пирамиды?

Кадр 41

КОНЕЦ Диафильм создан по программе средней общеобразовательной школы Автор Е. Арутюнян Художник-оформитель И. Ищенко Редактор И. Кремень © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1988 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30 Д-150-88