Графики тригонометрических функций

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ (Графическая иллюстрация свойств простейших тригонометрических функций) Диафильм по математике для средней школы

Кадр 2

I. Функция y=COS X

Кадр 3

Косинус дуги (угла) x есть отношение абсциссы точки M к длине радиуса. В единичной окружности ( R=1 ) значение косинуса дуги x численно равно абсциссе точки M.

Кадр 4

При изменении дуги от 0 до π/2 косинус этой дуги убывает.

Кадр 5

При изменении дуги x от 𝜋/2 до 𝜋 cosx убывает. Как изменяется модуль cosx в этом промежутке?

Кадр 6

Как изменяется cosx в промежутке от π до 2π ? Какое значение принимает cosx при x=3π/2 ? Назовите наибольшее и наименьшее значение функции cosx при изменении x от 0 до 2π.

Кадр 7

Построим график функции y=cosx на отрезке от 0 до 2π. Для этого сначала наметим точки, в которых cosx обращается в 0 , принимает наибольшее и наименьшее значения.

Кадр 8

Для большей точности построения графика составим таблицу промежуточных значений.

Кадр 9

Учитывая характер изменения функции cos x на отрезке от 0 до 2π и данные таблицы, строим график. Укажите по графику, в каких промежутках косинус положителен, отрицателен, возрастает, убывает.

Кадр 10

Решим_ уравнение: cosx=—½, если 0≤x≤2π. Для этого построим графики y=cosx и y=—½. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями данного уравнения. Решите уравнения: cosx=0, cosx=1, cosx=—1, cosx=√3/2 (0≤x≤2π).

Кадр 11

Решим неравенство cosx>½ , если 0≤x≤2π. Абсциссы точек, в которых график функции, y=cosx расположен выше графика функции y=½ , образуют множество решений данного неравенства. Решите неравенства: cosx<½ , cosx>0, cosx<√3/2 (0≤x≤2π).

Кадр 12

Косинусы противоположных значений аргумента равны. Это означает, что функция cosx чётная.

Кадр 13

График чётной функции симметричен относительно оси y . Найдите значения: cos(-π/6), cos(-π/2), cos(-π).

Кадр 14

При значениях x, больших 2π, значения cos x будут периодически повторяться: cos (x+2π)=cos x. Найдите значения: cos 13π, cos 5π/2, cos 3π, cos 9π/4, cos 4,5π, cos (4π+2πk), где k=0,1,2,3,...

Кадр 15

При сдвиге графика функции y=cos x вдоль оси x на 2π или -2π он преобразуется сам в себя. Это означает, что функция y=cos x периодическая. Будет ли число 4π, 6π, π, -8π периодом этой функции? Каков наименьший положительный период функции cos x?

Кадр 16

cos x=0 x=…-5-π/2,-3-π/2,-π/2,π/2,3-π/2,5-π/2… Решим уравнение cos x=0. Для этого достаточно найти абсциссы точек пересечения графика y=cosx с осью x. На графике видно, что абсциссы этих точек образуют последовательность с общим членом π/2(2k+1), где k —целое число. Решите уравнения: cos x=1, cos x=-1.

Кадр 17

Решим неравенство cosx>0. Абсциссы точек, в которых график функции y=cosx расположен выше оси x, образуют множество решений данного неравенства. Какие из чисел -1½π, -1, ¼, ¾π, 6, 24π являются решениями данного неравенства? Решите неравенство cosx<0.

Кадр 18

2. Функция y=sin x

Кадр 19

Построим график y=cos(x–π/2) путём сдвига вдоль оси x графика функции y=cosx на вектор π/2. Мы получим график функции y=sin x. Будет ли эта функция периодической?

Кадр 20

Рассматривая функцию y=sinx в интервале(-5π/2,2π), укажите, где она обращается в нуль, положительна, отрицательна. Решите в интервале (-∞,∞) уравнение sinx=0 и неравенства sinx>0, sinx<0.

Кадр 21

Рассматривая функцию y=sin x в интервале (-5π, 2π), укажите промежутки её возрастания и убывания. В каких точках функция принимает наибольшее или наименьшее значения?

Кадр 22

Сравните значения функций: sinπ и sin 4; sin(-4) и sin(-3,5); sin(-4) и sin(-2); sin 5 и sin 2π; sin 5 и sin 7; sin(-4) и sin 5; sin(-3π) и sin 2.

Кадр 23

Функция y=sinx нечётная, так как её значения противоположны при противоположных значениях аргумента. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Кадр 24

Чему равно значение sin 1 , sin (-7) , sin (-1) , sin 7 ? Дайте объяснение.

Кадр 25

Решим уравнение sinx=-1 . Для этого найдём абсциссы точек пересечения графиков функций y=sinx и y=-1 . Абсциссы этих точек образуют последовательность с общим членом 2(4к-1) , где к — целое число. Решите уравнение sinx=1.

Кадр 26

Назовите для промежутка (-π; 5π/2) решения уравнений: а) sinx=-1/2, б) sinx=√3/2 .

Кадр 27

Назовите множество решений неравенства или системы неравенств для промежутка (-π; 5π/2): а) sinx > √2/2 ; б) sinx < -1/2 ; в) -1/2 < sinx < 0; г) -√3/2 < sinx < √2.

Кадр 28

3. Функция y=tg x

Кадр 29

Построим график функции y=tgx. Функция tgx не определена при x=π/2(2k+1), где k — целое число. Отметим эти точки на оси абсцисс.

Кадр 30

Функция tgx нечётная, так как tg (-x)=sin(-x)/cos(-x)=-tgx. Следовательно, её график симметричен относительно начала координат.

Кадр 31

В промежутке (0, ²) функция tgx возрастает от 0 до бесконечности. Используя таблицу некоторых значений функции, строим график в этом промежутке.

Кадр 32

Используя свойство нечётной функции строим график y=tgx в промежутке (-π/2, 0).

Кадр 33

Функция y=tgx периодическая, с положительным периодом, равным π, так как tg(x+π)= sin(x+π) = -sin x = -cos x = tgx. Учитывая это, мы можем построить график функции y=tgx.

Кадр 34

Рассматривая функцию y=tgx в интервале (-2π, 3π), укажите, где она обращается в нуль, положительна, отрицательна. Решите в интервале (-∞, ∞) уравнение tgx=0 и неравенства tgx>0, tgx<0.

Кадр 35

Рассматривая функцию y=tgx в интервале (-2π;3π), укажите промежутки её возрастания. Существуют ли промежутки убывания функции, точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения?

Кадр 36

Расположите в порядке возрастания числа: tg(-4), tg(-3), tg(-0,5), tg0, tg0,5, tg1, tg3, tg4.

Кадр 37

Назовите решения уравнений для промежутка (-3π/2; 3π/2), tgx=1, tgx=-1, tgx=2.

Кадр 38

Назовите множество решений неравенства или системы неравенств для промежутка (-3π/2; 3π/2): а) tgx>1; б) tgx<1; в) -k tgx < 0,Д) 0<tgx<2; е) -k tgx>1.

Кадр 39

Для построения графика функции y=ctg x поступим так же, как и при построении графика y=tg x . Так как ctg x = cos x / sin x , то функция ctg x не определена при X=kπ. В промежутке (0,π) функция убывает, кроме того, она нечётная и периодическая (с наименьшим положительным периодом π ).

Кадр 40

Укажите значения x, при которых функция y=ctg x обращается в нуль. В каких промежутках она положительна, в каких отрицательна?

Кадр 41

Расположите в порядке возрастания числа: ctg(-3π/4), ctg(-π/2), ctg(-π/6), ctg(π/6), ctg(π/4), ctg(4π/3), ctg(5π/3).

Кадр 42

Назовите множество решений уравнения, неравенства или системы неравенств для промежутка (-π; 2π) : а) ctgx=-√3; б) ctgx<-1; в) ctgx>1; г) ctgx<-√3; д)-√3<ctgx<0; е) 0<ctgx<1.

Кадр 43

Конец Авторы Ю. Макарычев и А. Чесноков Чертежи и оформление Г. Рожковского Редактор В. Чернина Д-359-66 Студия «Диафильм», 1966 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30

Кадр 44

По заказу Министерства просвещения РСФСР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ Диафильм по математике для средней школы