Геометрическое место точек на плоскости

Кадр 1

По заказу Министерства просвещения РСФСР ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ Диафильм по математике для средней школы Производство студии „Диафильм“ 1960 г.

Кадр 2

Геометрия изучает формы, размеры и взаимное расположение окружающих нас предметов. Геометрическое место точек есть фигура, содержащая только те точки, которые обладают некоторым общим свойством. Никакие другие точки, не принадлежащие фигуре, этим свойством не обладают.

Кадр 3

Окружность есть геометрическое место точек, удалённых от данной точки на данное расстояние: AO=BO=CO=R. Точки М или N, не лежащие на окружности, указанным свойством не обладают: MO>R; NO<R.

Кадр 4

Одна и та же фигура обладает разными свойствами по сравнению с другими фигурами. Поэтому окружность, будучи ГМТ, удалённых от данной точки на данное расстояние, является вместе с тем ГМТ, из которых данный отрезок виден под прямым углом (за исключением точек А и В).

Кадр 5

Геометрическое место точек, равноудалённых от концов данного отрезка AB, есть перпендикуляр, проведённый через середину AB. AH=BH; AL=BL; AN=BN; AO=BO; AP=BP; AR=BR. Точка M, не лежащая на этом перпендикуляре, этому условию не удовлетворяет: AM≠BM.

Кадр 6

ЗАДАЧА. Через две данные точки А и В провести окружность. Сколько возможно провести окружностей? Где расположены их центры?

Кадр 7

Задача имеет бесконечное множество решений. Центры искомых окружностей расположены на прямой MN⊥AB и проходящей через середину AB. Только точки прямой MN являются центрами окружностей, проходящих через A и B.

Кадр 8

Задача. Найти два таких числа х и у, разность между которыми х-у равнялась бы 5. Решение:

Кадр 9

Если пары чисел х и у рассматривать как координаты точек на плоскости, то эти точки разместятся на прямой, параллельной биссектрисе 1 и 3 координатных углов и опущенной на 5 единиц.

Кадр 10

Биссектриса угла есть ГМТ (внутренних), равноудаленных от его сторон. АА₁=АА₂; ВВ₁=ВВ₂; СС₁=СС₂. Точки М или N, не лежащие на биссектрисе, не удовлетворяют этому условию: NN₁≠NN₂; MM₁≠MM₂.

Кадр 11

Что является ГМТ, расстояния которых от прямых а и б находятся в отношении m:n?

Кадр 12

Таким ГМТ является совокупность двух прямых p и q, проходящих через точку пересечения прямых а и в. (Здесь m:n = 4:3).

Кадр 13

ГМТ, удалённых от данной прямой а на расстояние m, есть параллельные прямые b и c, симметрично расположенные относительно прямой а.

Кадр 14

Что является ГМ центров окружностей, касающихся двух данных концентрических окружностей с радиусами, равными R и z ?

Кадр 15

Таким ГМ является окружность с тем же центром О. Её радиус R₁ = R + z / 2.

Кадр 16

Что является ГМТ, из которых некоторый фиксированный отрезок АВ виден под данным углом ψ?

Кадр 17

Порядок построения искомого ГМТ: 1) а|AB; б|AB. 2)∠MAB=90°-φ. 3) Следовательно,∠AMB=φ. 4) O₁—середина AM. 5) BN || AM. 6) O₂—середина BN. 7) Окружность (O₁; R₁=O₁A). 8) Окружность (O₂; R₂=O₂B).

Кадр 18

Искомым ГМТ являются две дуги окружностей, за исключением точек А и В, симметрично расположенные относительно АВ, имеющие АВ своей стягивающей хордой. Любой угол ∠АДВ=φ.

Кадр 19

Рассмотрите следующие два ГМТ, расстояния (d) которых до данной точки О: а) меньше заданного отрезка R (d<R); б) больше заданного отрезка R (d>R). Первое ГМТ – это все точки круга радиуса R, за исключением точек окружности. Второе ГМТ – это точки всей плоскости, за исключением круга радиуса R.

Кадр 20

Многие задачи на построение решаются методом геометрических мест. Уже при решении самых простейших задач мы часто пользуемся этим методом. Пусть требуется построить треугольник по трём сторонам: a=9 см; б=7,5 см; c=12,5 см.

Кадр 21

Решение. Приняв CB=a за основание, отыскиваем возможные положения концов отрезков в и с. Такими ГМТ являются окружности радиусов R₁=B и R₂=c с центрами в точках С и В. Пересечение найденных ГМТ даёт точку А – третью вершину искомого треугольника.

Кадр 22

Задача. Построить равнобочную трапецию по основанию а, боковой стороне b и высоте h. Решение: 1) Пусть AB=a – основание трапеции. Две другие вершины находятся среди ГМТ, равноудалённых от а на расстояние h . Этим ГМТ является прямая MN || AB.

Кадр 23

2) Искомые вершины находятся среди ГМТ, равноудалённых от точек А и В. Это две равные окружности радиуса R=B с центрами в А и В. Следовательно, искомые вершины D и С лежат в точках попарного пересечения найденных ГМТ. При исходных данных задача имеет два совершенно различных решения: трапеции AD₁C₁B и AD₂C₂B.

Кадр 24

Задача. Провести окружность, касательную к двум данным параллельным прямым MN и KL и проходящую через данную точку А, лежащую между MN и KL.

Кадр 25

Решение. 1) ГМ центров, удовлетворяющих первому условию, есть прямая CB || MN || HL и удалённая от них на расстояние ⅈd. Очевидно, что радиус искомой окружности R = ⅈd.

Кадр 26

2) И М центров окружностей R=⅔, проходящих через точку А, есть окружность радиуса R₁=⅔ с центром в точке А.

Кадр 27

31. Следовательно, центр искомой окружности лежит на пересечении 1 и 2 ГМТ. При исходных данных таких точек получилось две: O₁ и O₂, поэтому задача имеет два решения.

Кадр 28

Таким образом, сущность метода ГМ сводится к отысканию точки пересечения двух геометрических мест. Точки пересечения ГМ дают возможность найти некоторое решение задачи. Если нет точек пересечения ГМ, то задача не имеет решения.

Кадр 29

Метод ГМ имеет практическое применение при расчете и изготовлении рабочих чертежей деталей для технических и архитектурных сооружений, планировке городов, парков, декоративных украшений. При исполнении чертежей он наиболее часто встречается там, где необходимо сопряжение прямых линий с дугами окружности и дуг окружности между собою.

Кадр 30

Данная прямая При построении сопряжений наиболее часто употребляются следующие ГМ центров окружностей: а) ГМ центров окружностей радиуса r , касающихся данной прямой;

Кадр 31

б) ГМ центров окружностей радиуса r, касающихся данной окружности.

Кадр 32

Рассмотрите изображения следующих техничиских изделиий и покажите места сопряжений.

Кадр 33

Шарнирная опора. Опора:

Кадр 34

При выполнении рабочих чертежей рассмотренных выше моделей приходится решать следующие частные задачи методом геометрических мест. Сопряжение двух параллельных прямых при помощи дуги полуокружности.

Кадр 35

Сопряжение прямого угла при помощи дуги окружности радиуса r.

Кадр 36

Сопряжение острого угла с помощью дуги окружности радиуса r.

Кадр 37

Сопряжение тупого угла с помощью дуги окружности радиуса r.

Кадр 38

Сопряжение прямой и окружности при помощи дуги окружности радиуса r. Прямая не пересекает окружность.

Кадр 39

Сопряжение прямой и окружности при помощи дуги окружности радиуса r. Прямая пересекает окружность в точке А.

Кадр 40

Сопряжение двух окружностей радиуса R и R₁ при помощи дуги окружности радиуса r. Одна окружность находится на другой.

Кадр 41

Сопряжение двух окружностей радиуса R и R' при помощи дуги окружности радиуса r . Одна окружность находится внутри другой.

Кадр 42

Рассмотрите схематический рисунок продольного сечения подшипников качения. Какое знакомое вам ГМТ здесь использовано для отыскания положения центров шариков и роликов?

Кадр 43

Для создания каких архитектурных частей здания использоаны сопряжения линий? Какие на этом снимке можно ещё указать сопряжения?

Кадр 44

сопряжение линий применяется при планировке города. Какие вы видите сопряжения на данных снимках? Расположение улиц и домов в районе Кутузовского проспекта г. Москвы.

Кадр 45

Метод ГМ используется для определения положения корабля в открытом море. Для этого необходимо знать положение трех радиомаяков и направления на них из той точки, положение которой необходимо найти на карте. (Задача Потенота).

Кадр 46

Корабль X, находясь в море, установил, что ∠AXB = α; ∠BXC = β. Найти положение X на карте. Для решения этой задачи необходимо найти два ГМТ: 1) из которых отрезок AB виден под углом α; 2) из которых отрезок BC виден под углом β.

Кадр 47

Пересечение найденных ГМТ даёт нам точку X, в которой находится корабль, так как из неё и только из неё отрезки AB и BC со стороны моря видны под углами α и β.

Кадр 48

Планеты солнечной системы, а также искусственные спутники Земли движутся по замкнутым кривым линиям, называемым эллипсами. Эллипсо является ГМТ, обладающих тем свойством, что сумма расстояний от двух данныхъ есть величина постоянная. Схема движения третьей космической ракеты.

Кадр 49

Практический способ вычерчивания эллипса. А и В — булавки; пп — нитка; С — карандаш. Наково бы ни было положение точки С₁, всегда имеет место равенство: BC+CA=BC₁+C₁A.

Кадр 50

Конец диафильма Автор кандидат педагогических наук Г. В. Воробьев Консультант кандидат педагогических наук А. И. Фетисов Оформила М. И. Колчина Редактор В. Ю. Лаунберг Д-236-60 Б02287 Студия „Диафильм“ Москва, Центр, Старосальский пер., д. № 7 Черно-белый 0-20