Геометрические построения. Диафильм по математике для VI класса

Кадр 1

Диафильм по математике для VI класса

Кадр 2

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки — центра окружности. Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см, а расстояние от О до точек С и D, не лежащих на ней, не равно 5 см.

Кадр 3

Радиусом называется расстояние от центра до любой точки окружности и отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Точки X, Y, Z лежат на окружности l с центром M. Является ли радиусом этой окружности 1) отрезок MX; 2) расстояние от точки M до точки Y; 3) отрезок XZ?

Кадр 4

Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметром называется хорда, проходящая через центр. Докажите, что BC — диаметр. Докажите, что диаметр равен двум радиусам.

Кадр 5

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности.

Кадр 6

Серединным перпендикуляром к отрезку AB называется прямая, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно к нему. Докажите, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности.

Кадр 7

Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.

Кадр 8

Касательной называется прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку. Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Окружность касается всех сторон треугольника CDE. Какие выводы на основании этого можно сделать?

Кадр 9

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Треугольник ABC – описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA – равные?

Кадр 10

Докажите, что центр окружности, вписанный в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Кадр 11

Две окружности, имеющие общую точку, касаются, если они имеют в этой точке общую касательную. Если центры касающихся окружностей расположены по разные стороны общей касательной — касание внешнее, если по одну сторону — внутреннее. Докажите, что если окружности с центром О и О₁ имеют единственную общую точку, то прямая, перпендикулярная ОО₁, и проходящая через эту точку, является их общей касательной.

Кадр 12

С помощью линейки можно провести прямую. С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса.

Кадр 13

Задача на построение решена, если 1) указан способ построения фигуры; 2) доказано, что построенная фигура имеет требуемые свойства. Задача. Построить треугольник ABC с данными сторонами a, b, c.

Кадр 14

Задача. Построить угол, равный данному углу А. Докажите, что ∠B₁A₁C₁ = ∠A.

Кадр 15

Задача. Построить биссектрису угла А. Докажите, что луч AD — биссектриса угла А.

Кадр 16

Задача. Разделить отрезок АВ пополам. Докажите, что О — середина отрезка АВ.

Кадр 17

Задача. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную прямой а. Случай I. О∈а.

Кадр 18

Задача. Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную прямой а. Случай II. О¢а. Докажите, что OD⊥a.

Кадр 19

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудаленных от данной точки.

Кадр 20

Теорема. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Дано: а⊥AB; AO = OB. Доказать: а — геометрическое место точек, равноудаленных от А и В. Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В?

Кадр 21

Можно ли кратко записать формулировку теоремы о геометрическом месте точек, равноудаленных от концов отрезка? Дано: а⊥AB; AO=OB. Доказать: 1. Если M∈a, то AM=MB. 2. Если AD=DB, то D∈a. Докажите теорему.

Кадр 22

Если геометрическим местом точек, которые удовлетворяют первому условию, является фигура F₁, а второму условию — фигура F₂, то обоим этим условиям удовлетворяют точки пересечения фигур F₁ и F₂. Задача. Даны три точки А, В и С. Как построить точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и находится на расстоянии d от точки С?

Кадр 23

Здесь рассмотрены два случая решения задачи. Какой еще случай не рассмотрен?

Кадр 24

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность? Какие из углов являются вписанными в окружность?

Кадр 25

Угол ABD — вписанный, BD проходит через центр окружности. 1. Какой вывод можно сделать об углах 1 и 2; об угле 3 и сумме величин углов 1 и 2? 2. Докажите, что угол ABD равен половине угла между радиусами, проведенными в точки A и D.

Кадр 26

Угол ABC — вписанный. Центр окружности О находится между сторонами угла ABC. Докажите, что угол ABC равен полусумме углов AOD и DOC.

Кадр 27

Угол ABC — вписанный. Хорда AC является диаметром окружности. Докажите, что угол ABC — прямой.

Кадр 28

Угол ABC — вписанный. Центр окружности О находится вне угла ABC. Докажите, что угол ABC равен полуразности углов AOD и COD.

Кадр 29

Докажите, что если вершина вписанного угла ABC и центр окружности О лежат по одну сторону от прямой AC или AC—диаметр, то величина вписанного угла равна половине угла AOC.

Кадр 30

Вершина вписаного угла ABC и центр окружности O лежат по разные стороны от прямой AC. Чему равен угол ABC, если угол AOC равен α?

Кадр 31

Чему же в рассматриваемом случае равен угол ABC, если угол AOC равен α?

Кадр 32

Докажите, что равны все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки.

Кадр 33

Точки А, В и С лежат на окружности. Чему равен угол ABC, если хорда AC равна радиусу окружности?

Кадр 34

К сведению учителя Диафильм предназначен для организации изложения теоретического материала, включенного в параграф «Геометрические построения» учебника «Геометрия 6—10» А. В. Погорелова. Содержание материала разбито на фрагменты. В конце каждого фрагмента стоит знак ▲.

Кадр 35

Диафильм создан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР. Автор кандидат педагогических наук М. ВОЛОВИЧ Художник-оформитель В. ЕРМОЛАЕВА Редактор И. КРЕМЕНЬ Д 084 67 © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1987 г. 103062, Москва, Старосадский пер., 7 Цветной