Формирование понятия конгруэнтности двух фигур

Кадр 1

ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ КОНГРУЭНТНОСТИ ДВУХ ФИГУР Диафильм по математике для 6 класса

Кадр 2

К сведению учителя Диафильм состоит из двух фрагментов. В первом фрагменте (кадры с 4 по 10) формируется понятие отображения, сохраняющего расстояния между точками; во втором — раскрывается определение конгруэнтных фигур.

Кадр 3

В кадрах с 17 по 30 приводятся без доказательства признаки конгруэнтности для некоторых геометрических фигур и показано, как в целом ряде случаев можно построить отображение одной из конгруэнтных фигур на другую, сохраняющее расстояния между точками. При демонстрации этих кадров не имеет смысла требовать от учащихся тщательного обоснования того, как устанавливается отображение h и почему оно сохраняет расстояния между точками. Цель показа этих кадров – убедить учащихся в том, что рассматриваемые фигуры конгруэнтны по определению.

Кадр 4

1. Отображения, сохраняющие расстояния между точками. Φ₁={A,B,C} Φ₂={K,M,N} |AB|=|KM|; |AC|=|KN|; |BC|=|MN|. h — отображение фигуры Φ₁ на фигуру Φ₂. Сравните: |AB| с расстоянием между h(A) и h(B); |AC| с расстоянием между h(A) и h(C); |BC| с расстоянием между h(B) и h(C).

Кадр 5

Верно ли высказывание: «Расстояние между любыми двумя точками фигуры Φ₁ равно расстоянию между их образами в отображении h»?

Кадр 6

Если в отображении h расстояние между любыми двумя точками фигуры Φ₁ равно расстоянию между их образами фигуры Φ₂, то говорят, что такое отображение сохраняет расстояния между точками.

Кадр 7

g-отображение фигуры Φ₁ на Φ₂. Сравните: |AB| с расстоянием между g(A) и g(B); |AC| с расстоянием между g(A) и g(C); |BC| с расстоянием между g(B) и g(C). Сохраняет ли отображение g расстояние между точками?

Кадр 8

m—отображение фигуры Φ₁ на Φ₂. Сохраняет ли расстояния между точками отображение m? Сравните |AC| с расстоянием между точками m(A) и m(C).

Кадр 9

Даны фигуры (А, В, С) и (К, М, N). |AB|=|KM|; |AC|=|KN|; |BC|=|MN|. Какие из отображений h, g, r сохраняют расстояния между точками?

Кадр 10

Даны фигуры (А, В) и (С, D). Сохраняют ли отображения q, m, n, p расстояния между точками? Можно ли установить отображение одной из этих фигур на другую, сохраняющее расстояния между точками?

Кадр 11

Две фигуры называются конгруэнтными, если существует отображение одной из этих фигур на другую, сохраняющее расстояния между точками. То, что фигура Φ₁ конгруэнтна фигуре Φ₂, обозначается так: Φ₁ ≅ Φ₂.

Кадр 12

|AB|=|KM|; |AC|=|KN|; |BC|=|MN|. Почему {A,B,C} ≅ {K,M,N} ?

Кадр 13

Почему (А, В)≠(С, D)?

Кадр 14

Длины сторон Δ ABC равны между собой и равны длинам сторон Δ PST. Докажите, что (A,B,C) ≅ (P,S,T).

Кадр 15

ABCD–квадрат. Докажите, что {А, В ,С}={А, D, C}. Рассмотрите отображение {А, В, С} на {А, D, C}, в котором: А→А; В→D; C→C.

Кадр 16

Даны два равносторонних треугольника:△ABC и △KMN. Докажите, что {A, B, C}≠{K, M, N}.

Кадр 17

В следующих кадрах будут рассмотрены примеры конгруэнтных фигур и показано, как можно построить отображение одной из конгруэнтных фигур на другую, сохраняющее расстояния между точками. Это отображение в каждом случае обозначим одной и той же буквой h, а точки X и Y будем считать любими точками первой фигуры.

Кадр 18

[AB]||[CD] ; |AB|=|CD| [AB]=[CD], т. к. h(X)=X₁; h(Y)=Y₁, и |XY|=|X₁Y₁|.

Кадр 19

|AB|=|BC|. [AB]≡[BC], т. к. h(X)=X₁; h(Y)=Y₁ и |XY|=|X₁,Y₁|.

Кадр 20

Объясните, как задано отображение [AB] на [CD], сохраняющее расстояние между точками? Два отрезка конгруэнтны тогда и только тогда, когда их длины равны.

Кадр 21

[AB]≡[KM], т.к. h(X)=X₁; h(Y)=Y₁ и |XY|=|X₁Y₁|. Любые два луча конгруэнтны.

Кадр 22

Прямые а и в параллельны. а=в, т. к. h(X)=X₁; h(Y)=Y₁ и |XY|=|X₁Y₁|.

Кадр 23

αβ=0 (α и β—прямые). α≡β, т.к. h(X)=X₁; h(Y)=Y₁ и |XY|=|X₁Y₁|. Любые две прямые конгруэнтны.

Кадр 24

Окружность (О, r) конгруэнтна окружности (О₁, r), т. к. h(X)=X₁, h(Y)=Y₁ и |XY|=|X₁Y₁|. Две окружности конгруэнтны тогда и только тогда, когда их радиусы равны.

Кадр 25

∠ABC=∠KMP. Объясните, как задано отображение ∠ABC на ∠KMP, сохраняющее расстояния между точками. Два угла конгруэнтны тогда и только тогда, когда равны их величины.

Кадр 26

Два квадрата конгруэнтны тогда и только тогда, когда равны длины их сторон.

Кадр 27

В отображении [AB] на [CD], сохраняющем расстояния между точками, h(A)=C. Докажите, что h(B)≠X. (Сравните |AB| и |CX|).

Кадр 28

В отображении h Δ ABC на Δ KMP, сохраняющем расстояния между точками, h(A)=K; h(B)=P; h(C)=M. Докажите, что h(X)∈[KP].

Кадр 29

Пустьъ h(X)=Xi. Тогда: |AX|=|KX|, |XB|=|X,P|, |AB|=|KP|; |AX|+|XB|=|AB|; |KX|+|X,P|=|KP|. Следовательно, Xi∈[KP].

Кадр 30

Докажите, что не существует отображения квадрата ABCD на квадрат KMPD, сохраняющего расстояния между точками.

Кадр 31

КОНЕЦ Диафильм сделан по заказу Министерства просвещения СССР Автор Н. Копытов Консультант кандидат педагогических наук Ю. Макарычев Художник-оформитель Н. Дунаева Редактор В. Чернина Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1974 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Д-241-74 Цветной 0-30

Кадр 32

ПРОЕКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

Кадр 33

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР Диафильм по математике для 4-5 классов

Кадр 34

По заказу Министерства просвещения СССР ОТОБРАЖЕНИЕ ФИГУР Диафильм по математике для 6 класса

Кадр 35

НА РУБЕЖЕ ДВУХ СТОЛЕТИЙ ИЗ ИСТОРИИ РУССКОЙ СКУЛЬПТУРЫ КОНЦА XIX—НАЧАЛА XX ВЕКА

Кадр 36

ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ХИМИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ