Дуги, хорды и зависимость между ними

Кадр 1

ДУГИ, ХОРДЫ И ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ НИМИ

Кадр 2

I. Дуги и хорды в окружности

Кадр 3

Кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой равно удалены от точки О той же плоскости, называется окружностью. Как называется точка О? Какие из указанных отрезков являются радиусами, какие хордами? Покажите диаметр.

Кадр 4

Все точки красной кривой одинаково удалены от точки О. Почему эту кривую нельзя назвать окружностью?

Кадр 5

Часть плоскости, лежащая внутри окружности, вместе с точками окружности называется кругом. Какие из указанных точек принадлежат окружности, какие кругу?

Кадр 6

Теорема. Хорда, не проходящая через центр, меньше диаметра. Доказательство: OA + OB > AB; OA + OB = CD; CD > AB. Объясните этапы доказательства.

Кадр 7

Часть окружности называют дугой. Дугу обозначают: ◡CDE. Если концы дуги AKB совпадают с концами диаметра AB, то дугу AKB называют полуокружностью.

Кадр 8

Две дуги называются равными, если их можно совместить всеми их точками. Дуги неравных окружностей не могут быть равными.

Кадр 9

Если дугу BCD можно наложить на дугу AEK так, что точка B совпадет с точкой A, а все другие точки дуги BCD окажутся на дуге AEK между точками A и K, то ⌒BCD <⌒AEK. Дугу меньше полукружности можно обозначать двумя буквами: ⌒MN.

Кадр 10

Теорема. Равные дуги стягиваются равными хордами. Доказательство: ~AB=~CD, значит, при наложении совпадут и их концы, а следовательно, совпадут и их хорды, т. е. AB=CD.

Кадр 11

AB=CD, значит, ∠AB=∠CD KP=MN , значит, ∠KMP=∠MKN Верна и обратная теорема. В окружности равные хорды стягивают равные дуги, если обе дуги меньше (больше) полуокружности. Докажите.

Кадр 12

Теорема. Если дуги меньше полуокружности, то большая из них стягивается большей хордой. Доказательство: ∠DAB>∠DAO=∠ODA>∠ADC, значит, в△ADC: DC>AC или DC>AB. Объясните этапы доказательства.

Кадр 13

AB>CD, значит, ¬AB>¬CD Верна и обратная теорема. В окружности большая хорда ставит большую дугу, если дуги меньше полуокружности. Докажите самостоятельно методом от противного.

Кадр 14

II. Построение окружности через одну, две, три точки

Кадр 15

Задача: через точку А провести окружность. Решение: на плоскости берём любую точку О и радиусом ОА проводим окружность. Задача имеет бесконечное множество решений.

Кадр 16

Задача: через точку А провести окружность радиусом, равным отрезку а. Решение: принимаем точку А за центр, строим окружность R=а. Любую точку этой окружности берём за центр искомой окружности. Сколько решений имеет задача?

Кадр 17

Задача: через точки А и В провести окружность. Решение: проводим серединый перпендикуляр к отрезку АВ. Любую точку О этого перпендикуляра берём за центр и строим окружность радиусом ОА. Сколько решений имеет задача?

Кадр 18

Задача: построить диаметр окружности, центр которой не указан. Объясните решение. Докажите теорему: «Отрезок AB серединного перпендикуляра к хорде MN является диаметром».

Кадр 19

Задача: через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, провести окружность. Объясните решение. Сколько решений имеет задача?

Кадр 20

Почему три серединных перпендикуляра к сторонам Δ ABC пересекаются в одной точке?

Кадр 21

Объясните по чертежу, почему через три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, нельзя провести окружность.

Кадр 22

Из решения предыдущих задач вытекает теорема: через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность. Объясните, почему две различные окружности не могут пересекаться в трёх точках.

Кадр 23

Задача: в окружности не указан центр. Как его найти? Объясните решение, показанное на чертеже.

Кадр 24

III. Симметрия окружности

Кадр 25

Центр окружности является центром её симметрии. Доказательство: возьмём любую точку А окружности и проведём диаметр АА'; так как AO=OA', то для любой точки, взятой на окружности, есть симметричная точка на этой окружности.

Кадр 26

Задача: построить дугу А'В', симметричную дуге АВ,относительно центра О. Объясните решение задачи по чертежу.

Кадр 27

Всякий диаметр окружности является её осью симметрии. Доказательство: проведём диаметр MM' ⊥ AB. Так как MO=M'O, то при перегибании окружности по диаметру AB точка M' совместится с точкой M. Полуокружности AM'B и AMB также совместятся. Почему?

Кадр 28

Диаметр CD, перпендикулярный к хорде AB, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам. Объясните доказательство по чертежу.

Кадр 29

Диаметр CD, проведённый через середину хорды AB, перпендикулярна AB, но по предыдущей теореме точка K – середина AB, значит, наше предположение, что OK не перпендикулярна AB, неверно. Остаётся принять, что OK ⊥ AB. Почему ~AC=~CB?

Кадр 30

Аналогично докажите теорему: диаметр CD, проходящий через середину дуги MDK, перпендикулярен к хорде, стягивающей эту дугу. Почему MP=PK?

Кадр 31

Задача: дана дуга AB; постройте её ось симметрии. Объясните построение по чертежу. Имеет ли дуга AB центр симметрии?

Кадр 32

Задача: внутри круга дана точка М. Построить хорду так, чтобы точка М делила её попалам. Объясните решение задачи.

Кадр 33

Задача: дана прямая MN и точка O, не лежащая на MN. Построить окружность с центром O, отсекающую на прямой MN хорду, равную отрезку а. Объясните решение.

Кадр 34

IV.Зависимость между длиной хорды и её расстоянием от центра

Кадр 35

Задача: хорда AB=32 см, диаметр окружности 40 см. Найти расстояние хорды AB от центра О. Решение: AO=20 см, AC=16 см (почему?). Из Δ AOC, где ∠ACO=90° (почему?), имеем: OC²=AO²-AC²=20²-16²=(20-16)⋅(20+16)=4⋅36; OC=2⋅6=12 (см).

Кадр 36

Теорема. В окружности равные хорды равноудалены от центра. Доказательство: Δ AOC = Δ OFE, так как они прямоугольные и OA=OE и AC=FE (почему?). Значит, OC=OF. Сформулируйте и докажите обратную теорему.

Кадр 37

Теорема: в окружности большая хорда расположена ближе к центру. Доказательство: в прямоугольных треугольниках OC²=OB²—BC² и OF²=OD²—DF² , но OB²=OD² (почему?) BC<DF по условию или BC²<DF²; значит, OC²>OF² или OC>OF. Верна и обратная теорема. Сформулируйте её.

Кадр 38

Задача: через точку К, взятую внутри круга, проведены две хорды AB и CD, причём CD перпендикулярна диаметру NM. Докажите, что CD < AB.

Кадр 39

Задача: построить окружность, радиус которой равен отрезку а, так, чтобы она отсекла от сторон угла ABC хорды, равные отрезку b. Решение: построим ΔMNK так, чтобы KN=½, ∠MKN=90° и MN=a.

Кадр 40

Проведём EO || BD и E'O || BA на расстоянии С от сторон ∠ ABC. Точку пересечения О прямых EO и E'O примем за центр искомой окружности. Окружность радиусом, равным α. Докажите, что отрезки DP и D'P' равны отрезку β.

Кадр 41

Конец Диафильм по математике для средней школы сделан по заказу Министерства просвещения РСФСР Автор А. Чесноков Художник Н. Дунаева Редактор В. Чернина Студия «Диафильм», 1968 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Д-262-68 Цветной 0-30

Кадр 42

ЗАВИСИМОСТЬ СВОЙСТВ ВЕЩЕСТВ ОТ СОСТАВА И СТРОЕНИЯ Диафильм по химии для VIII–IX классов