Длина отрезка. Пропорциональность отрезков

Кадр 1

ДЛИНА ОТРЕЗКА. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ

Кадр 2

1. Длина отрезка

Кадр 3

Для измерения отрезков выбирают произвольный отрезок е. Отрезку е ставится в соответствие число 1. Говорят, что длина отрезка е равна 1.

Кадр 4

Если отрезок e укладывается в данном отрезке AB целое число (m) раз без остатка, то говорят, что длина отрезка AB равна целому числу m.

Кадр 5

Если отрезок е не укладывается в AB целое число раз, то берут половину отрезка е. Если половина отрезка е уложится в AB целое число (k) раз, то длина отрезка выразится числом k/2.

Кадр 6

Если половина отрезка е не укладывается в AB целое число раз, то берут ⅓ отрезка е, потом ¼ отрезка е и т. д.

Кадр 7

Если найдётся целое число n, и 1/n часть отрезка e укладывается в AB целое число (m) раз, то отрезки e и AB называют соизмеримыми, и длина отрезка AB выражается дробью m/n.

Кадр 8

Если никакая 1/n часть отрезка е не укладывается в AB целое число раз, то отрезки е и AB называются несоизмеримыми, и тогда длина отрезка AB выражается иррациональным числом. Например, сторона и диагональ квадрата — несоизмеримы.

Кадр 9

Каждый народ придумывал свои единицы измерения длины.

Кадр 10

Разнообразие единиц длины и трудность перевода из одной меры в другую создавали большие неудобства, особенно в торговле.

Кадр 11

В настоящее время большинство народов пользуется метрической системой мер. За основную единицу длины в этой системе принят МЕТР.

Кадр 12

Основная теорема о пропорциональных отрезках

Кадр 13

Отношением двух отрезков называется отношение длин этих отрезков, найденных в одной и той же единице измерения.

Кадр 14

Отношение двух отрезков не зависит от выбора единицы измерения.

Кадр 15

Отрезки AB, CD, EF называются пропорциональными соответственно AB = CD = EF, C,D₁, E,F₁, если имеет место равенство AB = CD = EF = K, где К — коэффицент пропорциональности.

Кадр 16

Дано: AB || CD || EF || KP Доказать: BD / FP = AC / EK Теорема. Ряд параллельных прямых отсекают на двух произвольных прямых пропорциональные отрезки.

Кадр 17

Доказательство. Пусть отрезки BD и FP соизмеримы. Значит, 1/n часть отрезка FP (отрезок x) укладывается в BD целое число (m) раз, а в FP n раз. Через точки деления проведём прямые, параллельные AB.

Кадр 18

Отрезки АС и ЕК также разделятся на m и n равных отрезков у. Отсюда BD = mx, FP = nx, AC = my, EK = ny. Значит, BD mx m AC my m и BD AC = = = = FP nx n EK ny n FP EK

Кадр 19

Доказательство теоремы не зависит от положения отрезков AC и EK на прямой ST. Теорема верна и когда отрезки AC и EK несоизмеримы.

Кадр 20

BD = AC FP = EK BD = BC BP = BK

Кадр 21

Построение пропорциональных отрезков

Кадр 22

Задача 1. Разделить отрезок АВ в отношении 3:4. Решение: проведём через точку А луч AD и отложим на нём от точки А семь произвольных, но равных отрезков. Соединим конец последнего отрезка с точкой В. Через конец третьего отрезка проведём MX || KB.

Кадр 23

Задача 2. На прямой OS даны две точки A и B. Найти на этой прямой такую точку X, чтобы XA:XB = m:n, где m и n — данные отрезки.

Кадр 24

I случай (точка X лежит внутри отрезка AB). Объясните ход решения задачи.

Кадр 25

2 случай (точка X лежит вне отрезка AB). Объясните ход решения задачи.

Кадр 26

Задача 3. Построить отрезок x так, чтобы x = b/a, где a, b и c — данные отрезки. Объясните ход решения задачи.

Кадр 27

Задача 4. Построить отрезок x так, чтобы x=a²/b, где a и b — данные отрезки. Решение: запишем данное равенство в виде пропорции x/a = a/b . Объясните дальнейший ход построения.

Кадр 28

Задача 5. Построить треугольник по данному периметру и отношеню его сторон. Объясните ход построения.

Кадр 29

Для построения пропорциональных отрезков и деления отрезка на равные части удобно пользоваться пропорциональным циркулем.

Кадр 30

Некоторые пропорциональные отрезки в треугольнике

Кадр 31

Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Кадр 32

Доказательство. Проведём СК || DB, тогда ⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻⁻

Кадр 33

Теорема (обратная). Если прямая BE проходит через вершину B треугольника ABC и делит сторону AC так, что AE:EC = AB:BC, то прямая BE — биссектриса угла B. Докажите теорему, пользуясь методом от противного.

Кадр 34

Задача. В треугольник ABC вписан ромб ADEF, как показано на чертеже. Определите отрезки BE и EC, если AB=14 см, BC=12 см и AC=10 см.

Кадр 35

Решение: проведём диагональ АЕ ромба. Она является биссектрисой ∠BAC,—значит, ⁅BE/EC⁆ = ⁅AB/AC⁆ = 14/10 = 7/5 . Пусть BE=7x, тогда EC=5x, отсюда 5x+7x=12, x=1. Значит, BE=7 см, EC=5 см.

Кадр 36

Задача. Дано: ΔАВС, ∠АВС=90°, ∠1=∠2, AD=15 см, DC=20 см. Найти АВ и ВС. Решение: 𝐴𝐵/𝐵𝐶 = 𝐴𝐷/𝐷𝐶 = 15/20 = 3/4 . Пусть АВ=3x, тогда ВС=4x, отсюда (3x)²+(4x)²=35²; x=7. Ответ: АВ=21 см, ВС=28 см.

Кадр 37

Теорема. Прямая DE, параллельная стороне треугольника ABC, отсекает от него треугольник DBE, стороны которого пропорциональны сторонам треугольника ABC.

Кадр 38

Доказательство. Проведём КД || BC, тогда AC/KC = AB/DB, но AB/DB = BC/BE, а так как KC = DE, то AC/DE = AB/BE = BC/BE, что и требовалось доказать. Объясните этапы доказательства.

Кадр 39

Теорема. Если прямая DE при пересечении двух сторон треугольника ABC делит их так, что AD:DB=CE:BE, то эта прямая DE параллельна третьей стороне треугольника. Докажите методом от противного.

Кадр 40

Расскажите, пользуясь рисунком, как определяют высоту дерева.

Кадр 41

КОНЕЦ Диафильм по математике для 8 класса сделан по заказу Министерства просвещения РСФСР Автор А. Чесноков Художник Б. Колесниченко Редактор В. Чернина Д-203-69 Студия «Диафильм», 1969 г. Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Цветной 0-30