Длина окружности и площадь круга

Кадр 1

Диафильм по геометрии для 8 класса

Кадр 2

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ

Кадр 3

Длина [AB] есть |AB| Длина ломаной ABC... YZ есть |AB| + |BC| + ... + |YZ|. Длина окружности Строгое определение длины окружности связано с понятием предела числовой последовательности.

Кадр 4

Как найти центр, коэффициент гомотетии и образ точки А в каждом из этих случаев?

Кадр 5

Можно ли утверждать, что всякие две окружности подобны?

Кадр 6

Любые две окружности подобны. Поэтому Ⅽ/c = Ⅾ/d, где Ⅽ, c — длины окружностей, Ⅾ, d — их диаметры. Таким образом, для любых окружностей Ⅽ/Ⅾ = c/d. Величину этого отношения обозначают греческой буквой ℼ. Выразите длину окружности через Ⅾ; ℛ.

Кадр 7

Заполните таблицу R 21 50 D 20 21 50 C 628 10 Как выглядят графики функций C=πD, C=2πR?

Кадр 8

Вычислите длины цветных линий, если R=14 см, R=15 мм, R=10 м.

Кадр 9

В. М. Брадис ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ

Кадр 10

Вычисление значения числа π основано на допущении: длина окружности (С) больше периметра любого вписанного в нее многоугольника (pₙ) и меньше периметра любого описанного многоугольника (qₙ). pₙ < C < qₙ. Используя чертежи, объясните, почему π ∈ [3;4].

Кадр 11

Удваивая число сторон правильного многоугольника, можно получить многоугольник, как угодно плотно примыкающий к окружности.

Кадр 12

Древнегреческий математик Архимед, рассматривая правильные вписанный и описанный 96-угольники, установил, что 3 10/71 <π < 3 1/7; 22/7 называют архимедовым приближением π.

Кадр 13

Используя метод Архимеда, можно вычислить π с любой точностью. В 1596 г. Людольф ван Кёлен из Дельфта, начав с квадрата и дойдя до 32 512 254 720-угольника, получил 35 знаков π. В 1961 г. машина ИБМ–7090 за 8 ч. 43 мин. вычислила 100 625 десятичных знаков π.

Кадр 14

Для вычисления периметров вписанных и описанных многоугольников используют формулы: a₂ₙ = √2R² - 2R √R² - aₙ²/4 bₙ = aₙ : √1 - aₙ²/4R² |ABI| = aₙ |ACI| = a₂ₙ Какой вид примут эти формулы при D = 1?

Кадр 15

|ABI|=aₙ |KMI|=bₙ |ACI|²=a₂ₙ=R²+R¹-2R⋅R⋅cos ∠AOC R⋅cos ∠AOC = |ODI| |ODI| = VR² - aₙ²/4 отсюда a₂ₙ = √2R²-2RVR²-aₙ²/4 bₙ: aₙ = R: |ODI| |ODI| = VR² - aₙ²/4 отсюда bₙ = aₙ⋅√1-aₙ²/4R² На основании каких теорем получены эти равенства?

Кадр 16

Задача. Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и увеличить ее длину на 1 м, сможет ли между проволокой и Землей проскочить мышь? Для справки: длина экватора 40 075 696 м; радиус Земли 6 378 000 м.

Кадр 17

d — ширина зазора; d = (C + 100) / 2π – R (см); d = 100 / 2π (см). И так как π < 22/7, то 100 / 2π > 100 / 2·22/7, 100 / 2π > 15.

Кадр 18

ФРАГМЕНТ II ПЛОЩАДЬ КРУГА 2 <Sкp.<4 2⁵/₈ <Sкp.<3¹/₄ 2 <Sкp.<3¹/₂ 2²⁹/₃₂ <Sкp.<3¹/₄

Кадр 19

Сравните площади вписанного многоугольника (Sb), круга (Sкp.) и описанного многоугольника (So).

Кадр 20

Как изменяется значение выражения |Skp.—Sn|, если n возрастает?

Кадр 21

Sₙ = ½ qₙ · R, где qₙ — периметр описанного многоугольника. Как изменяются Sₙ и qₙ, если n возрастает? Sк.р. = πR² Выразите площадь круга через его диаметр.

Кадр 22

Заполните таблицу R 10 0,7 D 2 10 Sкр. 31,4 2662/343 Sкр. Как выглядят графики функций Sкр.=πR² и Sкр.=πD²/4 ?

Кадр 23

В. М. Брадис ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ Таблица VII. Площадь круга диаметра d

Кадр 24

Найдите площади закрашенных фигур.

Кадр 25

Длина минутной стрелки Кремлевских курантов 3,6 м. Какова площадь сектора, который „замещает“ стрелка за 15 мин; 12 мин; 1 мин; 27 мин?

Кадр 26

Периметры многоугольников равны длине окружности. Какая из пяти фигур имеет наибольшую площадь?

Кадр 27

Дано: C = Pₙ Решение: a = Указание: выразите Sₙ через сторону и центральный угол правильного многоугольника. Сравните Sкр. и Sₙ.

Кадр 28

Дано: C=Pₙ Решение: 2πR=n⋅a a=2πR/n Sₙ=nSΔAOB= =n⋅½⋅COI= =na²/4tgπ/n Sₙ=π/ntgπ/n⋅πR² Sₙ/Sкp. <1; Sₙ/Sкp. =1; Sₙ/Sкp. >1 Сравнить Sкp. и Sₙ.

Кадр 29

Дано: C=Pₙ Решение: 2πR=n⋅a a=2πR/n Sₙ=π/ntgπ/n⋅πR² Sₙ/S₉ₖₚ.=π/ntgπ/n Sₙ/S₉ₖₚ.<1; Sₙ/S₉ₖₚ.=1; Sₙ/S₉ₖₚ.>1 Сравнить S₉ₖₚ. и Sₙ.

Кадр 30

К сведению учителя Диафильм состоит из трех фрагментов. I—«Длина окружности» (кадры 2—17 к п. 90 учебного пособия «Геометрия 6—8», 1979 г.). II—«Площадь круга» (кадры 18—25, к п. 91). III—предназначается для внеклассной кружковой работы. В нем рассматривается задача о фигуре наибольшей площади при постоянном периметре (кадры 26—29). Значок ▲ обозначает конец фрагмента.

Кадр 31

В кадре 4 нужно вспомнить с учащимися способ построения гомотетичной точки и обсудить, сколько решений имеет эта задача в каждом случае. Кадр 5 содержит ответ на задание кадра 4. Здесь следует показать учащимся, что если задача имеет два решения, то модули коэффициентов гомотетии равны. В кадрах 7; 8; 17; 22; 24; 25 числа подобраны таким образом, что нужно пользоваться то одним, то другим приближенным значением π. Пустые рамки яркого цвета показывают учителю, какой шаг в решении задачи следует обсудить с классом. В последующих кадрах цвет рамки тускнеет, внутри появляются формулы, к которым нужно было прийти в результате обсуждения.

Кадр 32

Диафильм сделан по программе, утвержденной Министерством просвещения СССР Автор П. Камаев Художник-оформитель Н. Дунаева Редактор Т. Разумова © Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1980 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., 7 Цветной 0-30