Прямоугольные координаты в пространстве

Кадр 1

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ Диафильм по геометрии для 10 класса

Кадр 2

Представьте данные векторы в виде xā+yб, где x, y ∈ R. Существует ли в этой плоскости вектор ň, который нельзя представить в таком виде?

Кадр 3

AD₁— параллелепипед. Представьте векторы m₁; m₂; m₃; m₄ в виде xā+yб+zč, где x,y,z∈R. Существует ли в пространстве вектор ň, который нельзя представить в таком виде?

Кадр 4

Если ||ī|=||j̄|=||k̄|=1 и ī⊥j̄, j̄⊥k̄, k̄⊥ī, то (ī;j̄;k̄) называют прямоугольным базисом. Векторы АВ, АD, АА₁ образуют прямоугольный базис. Докажите, что ABCDA₁B₁C₁D₁—куб.

Кадр 5

(i, j, k) — прямоугольный базис. Каждый из изображенных на рисунке векторов представьте в виде xi+yj+zk, где x, y, z∈R. Существует ли в пространстве вектор ā, который нельзя разложить по векторам ī; ĵ; k̂?

Кадр 6

Какой из изображенных на рисунке векторов представлен в виде: а) O·i + O·j - 2·k; б) 2i + 2j + Ok; в) i + O·j - k; г) 2i + 2j + k?

Кадр 7

В базисе (i; j; k) каждая тройка чисел (x; y; z) определяет единственный вектор δ=x⋅i+y⋅j+zk. Какие векторы определены следующими тройками чисел: а) (0;0;1); б) (2;2;2); в) (2;2;0); г) (−1;0;−1)?

Кадр 8

Числа x, y, z называют координатами вектора ō = xī + yj + zk в базисе (ī; ĵ; k). ō = (x; y; z). Найдите координаты векторов: а) ō = -5j + k; б) Б = 3i + 2j; в) С = 5k; г) BC₁; д) AD₁; е) D₁B.

Кадр 9

Правила действий над векторами, заданными своими координатами.

Кадр 10

Найдите координаты векторов: а) А₁С₁; СD₁ и А₁С₁+СD₁; б) АD; ВА₁ и АD+ВА₁; в) ВD; С₁С и ВD+С₁С; г) АD+ВD+СС₁;

Кадр 11

Дано: вектор а = (x₁; y₁; z₁) и вектор б = (x₂; y₂; z₂).

Кадр 12

Дано: ō = (x₁; y₁; z₁) и ō = (x₂; y₂; z₂). ō - ō = (x₁-x₂)ī + (y₁-y₂)ĵ + (z₁-z₂)k. Доказать: ō - ō = (x₁-x₂; y₁-y₂; z₁-z₂). Вычислите: а) BA₁ + A₁C₁; б) B₁D₁ - AC; в) B D₁ + B₁D; г) AB - B₁C₁.

Кадр 13

Дано: ō=(x;y;z), p∈R. pō=pxī+pyj+pzk. Доказать: pō=(px;py;pz). Найдте координаты векторов: a) ō; 2ō; -½ō; 0,75ō; б) ō; -ō; ⅔ō; -⅓ō; в) ō; 0 ō; ⁵/₂ō; -1,5ō.

Кадр 14

Скалярное произведение двух векторов. 1. Если ā=0 или b̄=0, то ā·b̄=0. 2. Если ā≠0 и b̄≠0 , то ā·b̄=|ā|·|b̄|·cos (ā,b̄). (ī; j̄; k̄)—прямоугольный базис. Вычислите: а) t̄·t̄; б) k̄·t̄; в) j̄·k̄; г) t̄²; д) t̄²; е) k̄²; ж) t̄·B̄C̄; з) k̄·B̄A₁; и) t̄·(2k̄—j̄); к) j̄·(2t̄+2k̄).

Кадр 15

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Кадр 16

Какие свойства действий над векторами использовались?

Кадр 17

Вычислите скалярное произведение векторов: а) (-3i-4k)⋅(2i+9j); б) (-8i+5j)⋅k; в) (i+j-k)⋅(i+j-k); г) BD⋅B₁C₁; д) BD₁⋅BD₁.

Кадр 18

Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами по их координатам

Кадр 19

Дано: = (x₁; y₁; z₁); = (x₂; y₂; z₂); ( , ) = φ. Доказать: cos φ = ⋅ Укажите координаты векторов и . Вычислите: cos ( ; ); cos ( ; ); cos ( ; ); cos ( , ).

Кадр 20

Прямоугольная система координат. Если заданы прямоугольный базис (i; j; k) и точка О, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Задают ли прямоугольную систему координат: а) С1(i; j; k); б) С(CA; CB; CC1); в) В(BO; ОО1; BA); г) О(AB; OC; ОО1)?

Кадр 21

Координатами точки М в прямоугольной системе координат О; (i;j;k) называются координаты вектора ОМ в базисе i;j;k. Найдите абсциссу, ординату и аппликату каждой точки: К; L; О; N; B; D₁.

Кадр 22

Как построить точки с координатами: (3; 3; 1); (3; 3; –1); (3; 3; –3); (0; 3; 2); R(x₀; y₀; z₀)? Найдте координаты векторов OM; ON; MN и их длины, если M(x₁; y₁; z₁), N(x₂; y₂; z₂).

Кадр 23

Поскольку MN=MO+ON=OM+ON=ON–OM, то MN=(x₂–x₁; y₂–y₁; z₂–z₁); |MN| = √( (x₂–x₁)² + (y₂–y₁)² + (z₂–z₁)² ). Найдите координаты векторов OE; OD; ED и их длины.

Кадр 24

Какие из следующих троек чисел являются решениями уравнения с тремя переменными 0 x + 0 y + z – 1 = 0: а) (3; 3; 1); б) (-2; 2; 1); в) (-2; 0; 3); г) (0; 2; 1)?

Кадр 25

Уравнение P(x;y;z)=0 задает фигуру Ф — множество точек пространства, координаты которых являются решениями этого уравнения. Какую фигуру задает уравнение: а) z=0; б) x—l=0; в) y=0; г) x—y=0; д) x²+y²+z²=0?

Кадр 26

Дано: α, п=(α;β;с), п ⊥ α, M(x₁; y₁; z₁) ∈ α, K(x; y; z). Докажите, что: 1. Равенство п·MK=0 выполняется, если K∈α. 2. α(x-x₁)+β(y-y₁)+с(z-z₁) = п·MK. 3. Уравнение α(x-x₁)+β(y-y₁)+с(z-z₁) = 0 есть уравнение плоскости.

Кадр 27

M₁ ∈ α, n ⊥ α Назовите уравнение плоскости α, если: а) M₁(1;0;1), n̄=(2;0;0); б) M₁(2;4;3), n̄=(0;0;-1). Какие из отмеченных точек принадлежат α?

Кадр 28

Теорема. Всякое уравнение первой степени αx+βy+cz+d=0 задает единственную плоскость, которая перпендикулярна вектору с координатами (α;β;c). Выделите в этой теореме условие и заключение.

Кадр 29

Какими из следующих уравнений задаются плоскости: а) 3x—2=0; б) 2y=0; в) —z²+1=0; г) 5x—2=0? Каким векторам перпендикулярны эти плоскости?

Кадр 30

Дано: P(x; y; z): αx + βy + cz + d = 0 (α≠0 или β≠0 или c≠0). Пусть (x₁; y₁; z₁) — решение P(x; y; z) = 0 P(x; y; z) = 0 ⇔ α(x-x₁) + β(y-y₁) + c(z-z₁) = 0 Доказать: 1. Уравнение αx + βy + cz + d = 0 задает единственную плоскость α. 2. α ⊥ n, где n = (α; β; c).

Кадр 31

Вектор р=(a;b;c) переводит точки А;В;С соответственно в точки А₁;В₁;С₁. Найдите координаты векторов: АВ; АС; АА₁; С₁С; ВВ₁.

Кадр 32

Формулы, позволяющие по координатам всякой точки М вычислить координаты ее образа при отображении f, называю́т координатными формулами отображения f.

Кадр 33

Гомотеией Hк с центром О и коэффицентом k≠0 называется отображение пространства на себя, при котором образом произвольной точки М является такая точка M₁, что OM₁=k•OM.

Кадр 34

Теорема. При гомотетии плоскость отображается на параллельную ей плоскость. Дано: α: ax+By+cz=o, β=H₀(α), p=(a:b:c). Доказать: 1. β—плоскость. 2. β||α.

Кадр 35

Дано: α:ax+By+cz+d=0, p=(a;b;c), β=H₀(α). Пусть M(x;y;z)∈α, M₁(x₁;y₁;z₁)∈β, M₁=H₀(M) β задается уравнением первой степени Доказатель: 1. β—плоскость. 2. β||α.

Кадр 36

Дано: α: ax+By+cz+d=0 , p=(a;b;c), β=H°(α). Пусть M(x;y;z)∈α, M₁(x₁;y₁;z₁)∈β, M₁=H°(M)

Кадр 37

К сведению учителя. Диафильм предназначен для изложения материала главы V учебного пособия «Геометрия 10» (под ред. З. А. Скопеца). Названия фрагментов соответствуют названиям параграфов и даются в кадрах 2, 9, 18, 20, 24, 31. В конце каждого фрагмента, рядом с номером кадра, ставится знак ▲.

Кадр 38

В кадрах, посвященных доказательству теорем, цветом выделены вновь появляющиеся части доказательства (высказывания и знаки следования), они требуют обсуждения в классе. Рисунки в кадрах позволяют организовать работу по усвоению формулировок теорем на конкретном материале. Такие кадры желательно проецировать на доску.

Кадр 39

Кадры 2—3 позволят повторить материал 9 класса, подводят к идее базиса. Точки, координаты которых заданы в общем виде, в кадре не обозначены: это может быть любая точка плоскости. В кадрах 22—24 координаты точек определяются непосредственно по чертежу.

Кадр 40

КОНЕЦ Диафильм по математике для 10 класса сделан по заказу Министерства просвещения СССР Авторы М. Б. ВОЛОВИЧ, П. М. КАМАЕВ Художник-оформитель И. В. ИЩЕНКО Редактор Р. А. ЭСТРИНА Студия «Диафильм» Госкино СССР, 1978 г. 101000, Москва, Центр, Старосадский пер., д. № 7 Д-155-78 Цветной 0-30